Analisis de limite de funcion de varias variables

Responder
  1. #1
    Avatar de Radmofo
    Registración
    Dec 2014
    Mensajes
    1,217

    Analisis de limite de funcion de varias variables

    Hi, it's me, again. Perdon que haya una falta severa de simbolos, pero se me jodio Windows y el tecleado esta puesto en US con lo que salta cualquier cosa en cada tecla.

    Estoy ahora viendo en Economia Matematica (Mate III) diferenciabilidad con todo lo que implica.

    Y es queria preguntar algo respecto al analisis de limite

    Supongan que tienen la funcion F(x,y) =
    {
    [(x^2-9y^2)/sin(x-3y)]+1 si x-3y != 0

    0 si x-3y=0
    }

    Y me piden analizar continuidad en el punto (0,0)

    Ok, como estoy parado en el "borde", tengo que hacer
    lim (x,y) tendiendo a (0,0) de 0

    y

    lim (x,y) tendiendo a (0,0) de [(x^2-9y^2)/sin(x-3y)]+1

    Correcto? Hasta aca todo diez puntines.
    El primero da 0
    Y el segundo, lo separo en los terminos, el +1 da 1
    Y aca viene mi pregunta, con los otros dos como hago? Con el X^2 y el -9*(Y^2) (cada uno dividido por sen(x-3y))?

    O sea, no puedo hacer 0 por acotada porque esta el seno en el denominador asi que nunca voy a conseguir que un lado de la desigualdad para la acotacion me quede 1....y si intento hacer el limite por una recta (ta,tb) quedo en la misma situacion con dos variables y da 0 sobre 0.

    Lo unico que se me ocurrio hacer es, ir por una recta que sea: x igual a Y con X tendiendo a 0
    Con esto, me saco una variable, y a pesar de que me queda 0/0, puedo hacer l hopital, con lo que me queda 2x/(-2*cos(-2x)) y lo mismo hago con -9*(Y^2)/sin(x-3y) que tambien me da 0.

    Ahora, yo puedo hacer esto para demostrar que el limite global es 0? O estoy haciendo un error bien groso y me estoy llevando puesto varios teoremas y definiciones matematicas?
    • Me gusta
    Me gusta

  2. Compartí este Tema:
    • Vistas: 361
    • Mensajes: 10
    Seguí este Tema: Suscribite
  3. #2
    sotto sukuu tame n... Avatar de ken2
    Registración
    Feb 2015
    Mensajes
    599

    Re: Analisis de limite de funcion de varias variables

    Nunca viste analisis por la derecha y por la izquierda de 0,0 ??
    • Me gusta
    Me gusta
    そっと 救う ため に 手を 伸ばす
    http://snag.gy/uBzOL.jpg

  4. #3
    Avatar de Harry Haller
    Registración
    Mar 2009
    Mensajes
    3,417

    Re: Analisis de limite de funcion de varias variables

    Citar Mensaje original enviado por Radmofo Ver Mensaje
    Ahora, yo puedo hacer esto para demostrar que el limite global es 0? O estoy haciendo un error bien groso y me estoy llevando puesto varios teoremas y definiciones matematicas?
    No. Tenés que utilizar alguna propiedad de límites dobles o directamente demostrarlo por definición. En este caso se reduce a un truco sencillo:



    Como x-3y tiende a cero cuando (x,y) tiende a cero,

    (*)

    debe ser:



    (*) Esta propiedad que estoy usando, si no la viste, deberías probarla por definición de límite.

    Saludos.
    • Me gusta
    Me gusta
    Última edición por Harry Haller : 27-09-15 el 01:29 AM

  5. #4
    Avatar de Radmofo
    Registración
    Dec 2014
    Mensajes
    1,217

    Re: Analisis de limite de funcion de varias variables

    Claro. Veo. Estaba tan concentrado con limite por curvas, direccionales y etc que me olvide de algo como lo de los cuadrados....

    Y una pregunta mas ya que estamos.

    Cuando tengo que analizar la diferenciabilidad de ln (x^2+y^2) en (1,1)

    El limite "final", este:

    lim (x,y)->(1,1)

    de

    (ln (x^2 + y^2) -x -y -ln(2) +2)
    /
    [ ( (x-1)^2) + (y-1)^2 ) ]^1/2

    Como lo resuelvo? Me da 0 por todos los metodos que intente, y arriba no hay nada para cancelar o factorizar.
    Ya que me decis que no se puede con X=Y, entonces estoy medio al horno
    • Me gusta
    Me gusta

  6. #5
    Avatar de Harry Haller
    Registración
    Mar 2009
    Mensajes
    3,417

    Re: Analisis de limite de funcion de varias variables

    En (1,1) tenés un entorno abierto (la bola abierta de centro (1,1) y radio 1) donde la función es diferenciable por ser composición de funciones diferenciales
    Distinto es si preguntás diferenciabilidad en el (0,0), a priori esa pregunta no tiene mucha gracia porque la función no está definida en el origen.
    • Me gusta
    Me gusta

  7. #6
    Avatar de Radmofo
    Registración
    Dec 2014
    Mensajes
    1,217

    Re: Analisis de limite de funcion de varias variables

    Citar Mensaje original enviado por Harry Haller Ver Mensaje
    En (1,1) tenés un entorno abierto (la bola abierta de centro (1,1) y radio 1) donde la función es diferenciable por ser composición de funciones diferenciales
    Distinto es si preguntás diferenciabilidad en el (0,0), a priori esa pregunta no tiene mucha gracia porque la función no está definida en el origen.
    Whaaaaaat

    Es parte de una funcion partida, pero como no esta en el "borde", no puse el resto, tiene relevancia?
    Entorno abierto, bola abierta, como?
    Pero, lo puedo justificar asi nomas? Y el valor cuanto es? Tiene que ser 0, Entonces ya da 0?

    Si meto lim (x,y)->(1,1) ln(x^2+y^2)/||(x,y)-(1,1)|| en wolfram alpha me tira que no da.

    Que estoy haciendo o entendiendo mal?
    • Me gusta
    Me gusta

  8. #7
    Avatar de Harry Haller
    Registración
    Mar 2009
    Mensajes
    3,417

    Re: Analisis de limite de funcion de varias variables

    x^2+y^2 :B((1,1),sqrt(2))--->(0,+00) es un polinomio, luego es diferenciable.
    ln: (0,+00)--->R es diferenciable.
    Composición de diferenciables es diferenciable. Se supone que vieron eso en la teoría, no? Entonces así lo justificás y no haces ninguna cuenta. Encima justificas que es difenciable en B((1,1),sqrt(2)) y no solo en (1,1).

    Antes puse radio 1 en la bola, pero se puede poner hasta radio sqrt(2) mientras sea abierta. Lo único que tenés que tener cuidado es que en la imagen de x^2+y^2 no esté el cero, porque el ln no está definido.
    • Me gusta
    Me gusta
    Última edición por Harry Haller : 27-09-15 el 02:33 AM

  9. #8
    Avatar de Radmofo
    Registración
    Dec 2014
    Mensajes
    1,217

    Re: Analisis de limite de funcion de varias variables

    Citar Mensaje original enviado por Harry Haller Ver Mensaje
    x^2+y^2 :B((1,1),sqrt(2))--->(0,+00) es un polinomio, luego es diferenciable.
    ln: (0,+00)--->R es diferenciable.
    Composición de diferenciables es diferenciable. Se supone que vieron eso en la teoría, no? Entonces así lo justificás y no haces ninguna cuenta. Encima justificas que es difenciable en B((1,1),sqrt(2)) y no solo en (1,1).

    Antes puse radio 1 en la bola, pero se puede poner hasta radio sqrt(2) mientras sea abierta. Lo único que tenés que tener cuidado es que en la imagen de x^2+y^2 no esté el cero, porque el ln no está definido.
    Claro, lo vimos en la teoria, pero hasta ahora todos los ejercicios, en la practica, los hicimos con direccionales (ta,tb) o por algebra de limites
    • Me gusta
    Me gusta

  10. #9
    Avatar de Harry Haller
    Registración
    Mar 2009
    Mensajes
    3,417

    Re: Analisis de limite de funcion de varias variables

    Si meto lim (x,y)->(1,1) ln(x^2+y^2)/||(x,y)-(1,1)|| en wolfram alpha me tira que no da.
    Porque ese límite no es el que tenías. Naturalmente este último que pusiste vale 00.
    Citar Mensaje original enviado por Radmofo Ver Mensaje
    Claro, lo vimos en la teoria, pero hasta ahora todos los ejercicios, en la practica, los hicimos con direccionales (ta,tb) o por algebra de limites
    Y bueno, acá usás álgebra de diferenciabilidad.
    El (1,1) no es un punto conflictivo y en toda una bolita no presenta problemas. Es lo mismo que cuando en una variable tenías que analizar diferenciabilidad de una función partida en un punto que no es el de corte. O sea, es el caso trivial. (Y que paradójicamente los alumnos no saben justificar bien, bien. Los docentes se conforman con que digan que es composición de diferenciables y listo (cuando lo que deberían decir para justificar bien es que coincide en una bolita con una diferenciable, pero es demasiado tecnicismo al pedo, la idea está bien).
    • Me gusta
    Me gusta
    Última edición por Harry Haller : 27-09-15 el 02:55 AM

  11. #10
    Avatar de Radmofo
    Registración
    Dec 2014
    Mensajes
    1,217

    Re: Analisis de limite de funcion de varias variables

    Citar Mensaje original enviado por Harry Haller Ver Mensaje
    Porque ese límite no es el que tenías. Naturalmente este último que pusiste vale 00.

    Y bueno, acá usás álgebra de diferenciabilidad.
    El (1,1) no es un punto conflictivo y en toda una bolita no presenta problemas. Es lo mismo que cuando en una variable tenías que analizar diferenciabilidad de una función partida en un punto que no es el de corte. O sea, es el caso trivial. (Y que paradójicamente los alumnos no saben justificar bien, bien. Los docentes se conforman con que digan que es composición de diferenciables y listo (cuando lo que deberían decir para justificar bien es que coincide en una bolita con una diferenciable, pero es demasiado tecnicismo al pedo, la idea está bien).
    DIsculpe que lo quotee una vez mas, pero usted se refiere a la demostracion epsilon y delta, mas todas las desigualdades con modulos entre medio?
    • Me gusta
    Me gusta

  12. #11
    Avatar de Harry Haller
    Registración
    Mar 2009
    Mensajes
    3,417

    Re: Analisis de limite de funcion de varias variables

    No, no. Pero no te preocupés, es demasiado técnico. Tiene que ver con que una función no solo es una fórmula.
    Es diferenciable en (1,1) por ser composición de diferenciables.
    • Me gusta
    Me gusta

  13. Compartí este Tema:
    • Vistas: 361
    • Mensajes: 10
    Seguí este Tema: Suscribite
Responder