Es valido esto para solucionar el problema (Vectores, lineas en el plano)?

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  1. #1
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    Question Es valido esto para solucionar el problema (Vectores, lineas en el plano)?

    Dudas remarcadas con negritas para el que tl,dr !

    Buenas, que tal? Estoy repasando porque despues de esta semana nos cae un parcialito y quiero apuntar a meter el 100.

    Los temas que entran son dibujo de conicas, vectores de largo 2, operaciones con vectores, funciones de varias variables (3 max), derivadas parciales, rectas tangentes a curvas de nivel, max y min con restricciones y el metodo lagrangiano para hallarlos.

    Entonces, arranque desde 0 con los ejercicios y estoy con los siguientes que pertenecen a vectores:

    1-Decidir si el vector (3,-2) es perpendicular a la recta (x,y) = t.(2,-3) + (1,1). Idem con el vector (1, 2/3).

    2-Graficar una recta paralela al vector (-1,2) que pase por el punto (-3,-4). Cual es su ecuacion?

    3-Dar la ecuacion de una recta perpendicular a la anterior que pasa por el origen

    Mis dudas eran:

    1-En este ejercicio, me imagino que habria que aplicar el teorema del coseno, en parte porque involucra angulos, y como bien sabemos, el vector perpendicular a otro tiene un producto entre ambos que da 0 ya que COS 90º es 0.
    Ademas....es la unica vez en la cual la profesora menciono "perpendicular" respecto a los vectores.

    Ahora, a mi, personalmente, no se me ocurria una manera de relacionar el teorema del coseno dentro del ejercicio....y se me ocurrio otra manera (De la cual surge el titulo del thread):

    Si tenemos un vector, que parte desde (0,0), se podria considerar a este vector como la pendiente de una recta, que contiene el punto (0,0)....buscando algo para justificar esta idea medio al voleo que saque (tampoco muy brillante admitamos ) encontre....la ecuacion parametrica de una recta en los apuntes de clase.

    (x,y) = v1 + t.v2

    Donde v1 y v2 son dos puntos en el plano, el punto v1 es un punto perteneciente a la recta y el punto v2 se llama vector direccion de la recta.

    Bien, reemplazo v1 por (0,0) y v2 por el mismo vector [(3,-2)] con el cual me piden confirmar la perpendicularidad
    (x,y) = (0,0) + t.(3,-2)

    Y pasandola a una ecuacion implicita me queda -2/3*x = Y
    Lo mismo con el otro vector que me dan....me queda 2/3*x = Y

    Para terminar, el mismo procedimiento de parametrica a implicita con la recta de la consigna....con lo me queda
    5/2 - 3/2*X = Y

    Ahora....la otra definicion de perpendicular....medio pedorra pero bueno, correcta al fin y a cabo, era que una recta era perpendicular a otra si su pendiente de era de signo contrario e invertida....siguiendo esto, el vector (1, 2/3) es perpendicular mientras que el otro no lo es. Si lo graficamos www.fooplot.com podemos ver que asi es.

    Alguien de aca que sepa sobre el tema, es correcto lo que hice? Como podria justificarlo mas....metodicamente?

    Y el teorema del coseno, como lo usaba (Si es que se usa) para resolver el asunto?


    2-En este ejercico, es valido utilizar el vector que nos dan como V2 en la ecuacion parametrica y el punto por el cual debe pasar la recta paralela, como V1?

    3-Es valido agarrar la pendiente, ponerle signo opuesto e invertirla, usarlo como V2 y a (0,0) como V1?

    Muchas gracias de antemano!

    EDIT: Dato interesante, estuve 2 horas para hacer esos ejercicios de cuarta....
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  3. #2
    Azymut Avatar de efimero.
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    Re: Es valido esto para solucionar el problema (Vectores, lineas en el plano)?

    Vamos por partes.

    Tenés conocimientos de álgebra lineal? Si los tenés es muy simple probar la perpendicularidad de vectores. Basta con que el producto interno entre ambos sea cero. El producto interno vendría a ser la proyección de un vector sobre otro. Como en este caso son perpendiculares, dicha proyeccion debe ser necesariamente 0.

    El producto interno entre un vector (a,b) y otro (c,d) se define así y DA UN NUMERO:

    (a,b).(c,d) = a.c + b.d = escalar

    Ejemplo:

    El vector (2,1) y (1,-2) son perpendiculares pues 2.1 + 1.(-2) = 0

    Si no lo viste, podríamos probar la perpendicularidad de la manera que dijiste vos, pero para eso necesitaríamos dejar explícita la pendiente de la recta que define el vector.

    1) Está bien lo que dijiste. Con lo que te explique arriba basta para justificarlo. Otra manera sería buscar la expresión de la recta y comprobar que efectivamente la pendiente de uno es la inversa cambiada de signo de la otra. Dato de color: el tener un punto de paso para una recta (el punto que le agregas y que no se multiplica por una constante), no afecta a la perpendicularidad con otros vectores. Es solamente desplazar la recta en el espacio manteniendo su dirección.

    2) Ya tenés todo servido. La recta tiene la forma k(-1, 2) + (-3, -4)

    Si querés la ecuacion se plantea,

    (x,y)= (-k -3, 2k-4)

    k= -3-x

    y= 2(-3-x) -4

    y= -2x -10

    3) Seh

    como la pendiente del ejemplo anterior es m= -2, tu nueva pendiente m'= 1/2, y como además pasa por el origen, la recta que se busca es

    y= (1/2)x
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  4. #3
    Avatar de Radmofo
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    Re: Es valido esto para solucionar el problema (Vectores, lineas en el plano)?

    Uh, me siento un importante boludo (de gran magnitud, no que sea destacado)....di mil vueltas

    Jajajajja, muchisimas gracias!!!
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  5. #4
    Avatar de Radmofo
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    Re: Es valido esto para solucionar el problema (Vectores, lineas en el plano)?

    Bueno, vuelvo a pasar por aca porque esto me esta costando una bocha. Disculpen la pesadez y el largo.

    Pongo los ejercicios y las dudas directamente:

    -Rectas y Planos en R^3
    Me siento en bolas con esto porque no tengo nada de los apuntes o en el resumen teorico que me indique algo relacionado a esto. Asumo que tengo que relacionarlo con otros conceptos que vi. Podrian decirme cuales son?

    1. Encontrar la ecuacion parametrica de la recta que pasa por el punto (1, 2, 3) con direccion (2, 1, −1).

    Si sigo la logica de la ecuacion parametrica que use en el primer post, esto deberia ser (x,y,z) = (1,2,3) + t(2,1,-1) no?

    2. Encontrar la ecuacion parametrica de la recta que pasa por los puntos (1, 2, 3) y (2, 1, −1).

    Ahora, la diferencia con el anterior es que para encontrar la direccion (V2 en la ec.param), tengo que restar ambos puntos, right?

    (1,2,3) - (2,1,-1) = (-1, 1, 4). Con lo que la ecuacion quedaria (x,y,z) = (1,2,3) + t(-1, 1, 4)

    3. Encontrar el unico plano en R^3 que pasa por los puntos (2,1,1), (1, 2, 3) y (1, -2, 2)

    Ahora si que no genero una idea en este. Pido una mano para ver como plantearlo/que necesito.

    Siguen los ejercicios pero no meto mas porque si no no tiene sentido. Me estarian tirando todas las explicaciones con las respuestas juntas y no tiene sentido eso sin que antes piense o vea como hacer el problema.

    --------
    Despues, tengo un ejercicio la misma consigna pera diferentes funciones:
    Dada la función de dos variables f(x, y). Calcular el dominio de f(x, y) y las curvas de nivel de valor M ∈ R donde f (x, y) es la función:

    a) f(x,y) = x^2 + y^2

    Me imagino que el dominio aca son todos los reales (R) porque no hay ninguna restriccion. Ahora, no entiendo la consigna cuando dice "calcular (...) y las curvas de nivel de valor M ∈ R donde f (x, y) es la función".
    Como es esto? Entiendo como dibujar las curvas de nivel, que es Cm1 { 1 = x^2 + y^2 } y asi con el resto de los numeros.
    Seria entonces CmM (la M sale de: valor M ∈ R) { M = x^2 + y^2 } y asi con las demas funciones?

    Luego, empiezan a aparecer funciones con restricciones
    f(x, y) = (1 - x^2 - y^2)^0.5
    Con poner Dominio = 1>x^2 - y^2 ya es una respuesta valida?
    Pero sin embargo, como "dibujo" las curvas de nivel aca? O sea, es absurdo poner por ejemplo 2 = (1 - x^2 - y^2)^0.5
    Tambien es absurdo hacerlo con numeros negativos porque nunca va a dar. So what do we do?

    Gracias por toda la ayuda!!
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  6. #5
    Azymut Avatar de efimero.
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    Re: Es valido esto para solucionar el problema (Vectores, lineas en el plano)?

    1) Sí
    2) Sí
    3) Con tener tres puntos ya es posible definir un plano, ya que un plano lo definis mediante la dirección de dos vectores no colineales, entonces basta con que encuentres las dos direcciones de esos vectores v1 y v2, siendo el plano de la forma

    P: k1.v1+ k2.v2, siendo k1 y k2 escalares

    Con las curvas de nivel la idea no es que las evalúes para valores al azar sino que propongas un valor genérico, entonces las curvas de nivel de la forma

    x^2+y^2=k

    pueden ser dos cosas. Si k=0, el resultado gráfico va a ser una recta. Si k<0, se da el absurdo, y si k>0 vas a tener una familia de circunferencias de radio k^(1/2)

    (x^2)/k + (y^2)/k =1

    Lo otro es lo mismo. Ponete a jugar y analiza los casos.
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  7. #6
    Avatar de sambuceti
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    Re: Es valido esto para solucionar el problema (Vectores, lineas en el plano)?

    1)La ecuacion parametrica seria:
    x=1+2t
    y=2+t
    z=3-t

    La que vos escribiste es la vectorial.

    2)Ecuacion parametrica:
    x=1-t
    y=2+t
    z=3+4t
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  8. #7
    Avatar de El Froz
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    Re: Es valido esto para solucionar el problema (Vectores, lineas en el plano)?

    Citar Mensaje original enviado por Fripp Ver Mensaje
    Con las curvas de nivel la idea no es que las evalúes para valores al azar sino que propongas un valor genérico, entonces las curvas de nivel de la forma

    x^2+y^2=k

    pueden ser dos cosas. Si k=0, el resultado gráfico va a ser una recta. Si k<0, se da el absurdo, y si k>0 vas a tener una familia de circunferencias de radio k^(1/2)
    Antes de que se vuelva loco buscando la recta: si k=0 entonces va a obtener un punto (el origen), no una recta.
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  9. #8
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    Re: Es valido esto para solucionar el problema (Vectores, lineas en el plano)?

    Sí, flasheé. Las hipérbolas con k=0 dan dos rectas. Elipses no.
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  10. #9
    Avatar de Radmofo
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    Re: Es valido esto para solucionar el problema (Vectores, lineas en el plano)?

    Citar Mensaje original enviado por El Froz Ver Mensaje
    Antes de que se vuelva loco buscando la recta: si k=0 entonces va a obtener un punto (el origen), no una recta.
    Gracias por preocuparte, pero ya quede medio crazy por esto
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  11. #10
    Avatar de Radmofo
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    Re: Es valido esto para solucionar el problema (Vectores, lineas en el plano)?

    Vuelvo con mas dudas!

    Tengo la siguiente consigna:

    1-Encontrar por el metodo directo los (x,y) que corresponden a los maximos y minimos con restricciones de la funcion f(x,y) = y - (1/2)*x^2 sujeta a la restriccion G(x,y) = xy-8 = 0

    Dibujar las curvas de nivel que corresponden a los maximos o minimos encontrados y dibujar la restriccion. Que se puede concluir?


    Bueno, segun lo visto en la teoria, para hacer esto, tengo que escribir la funcion a maximizar o minimizar como una funcion de una sola variable y buscar el max o min donde este definida la variable.
    Hay que relacionar las dos variables que estan en la funcion que nos dan.

    Si no me equivoco, segun la restriccion xy-8 = 0

    ->x=8/y si despejo X en funcion de Y
    ->y=8/x si despejo Y en funcion de X

    entonces reescribo la funcion original de dos variables, como f(x) = (8/x) - (1/2)*x^2
    Derivando e igualando la primera derivada encuentro que f'(x) = 0 en X = -2. Esto en la segunda derivada me devuelve negativo por ende es un maximo local. Reemplazando en la funcion original, f(-2) = -6

    Si lo hago con Y, me da que f(y) = y - (32/(y^2)), maximo en Y = -4, lo cual devuelve -6.

    Si sigo el ejemplo de la teoria, tendria que dibujar la funcion de una sola variable f(x), usar las derivadas, sacar el maximo y ya fue.

    Sin embargo, al dibujarlo, me quedan asintotas y veo que es un maximo local, no global/absoluto. Hay valores mucho mayores para X cuando tiende a 0 por la derecha! Y si lo hago con f(y) veo que al moverse hacia valores mas positivos, devuelve valores positivos cada vez mas grandes...

    Entonces, lo que no entiendo, es como entra en juego la restriccion que nos dieron. Asumo que nos tienen que dar un intervalo del cual sacar los maximos y minimos. No veo ningun intervalo aca!
    Aca no tengo ninguna restriccion del estilo > 0 ni < 0, por lo que pueden ser todos los numeros. Eso no lo entiendo, que estoy haciendo mal?

    Aparte, como es lo de "dibujar las curvas de nivel de los maximos o minimos encontrados"? Que significaria esto? a que curva de nivel pertenece el maximo/minimo? Onda, que tiene tangencia/toca algun punto de alguna curva de nivel K (Estan graficadas en colores como parabolas). El tema es que en el grafico de Fooplot veo que no hay tangencia, sino que corta todas las curvas de nivel.

    Me estoy volviendo mas loco aun!!
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  12. #11
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    Re: Es valido esto para solucionar el problema (Vectores, lineas en el plano)?

    Lo que hiciste es correcto.

    En cuanto al papel de las restricciones: A veces te interesa el comportamiento de una función sujeta a una relación entre las variables. Por ejemplo, imaginate que tenés una función que mide ganancias monetarias y sus variables son el dinero invertido y el tiempo, como te interesa invertir poco y que las ganancias vengan rápido, no es descabellado suponer, como punto de partida, que dinero/tiempo=1 y luego ver si te conviene la situación dónde se halla ese máximo.

    En cuanto a las curvas (aunque a veces puedan ser superficies) de nivel, fijate que lo que conocés es el valor que alcanzan los máximos de f(x,y) sujeta a la restricción. Entonces te están pidiendo que obtengas todos los puntos (x,y) que hagan que la función original (sin la restricción) valga ese número. O sea, obtener alguna relación entre las variables a partir de la ecuación f(x,y)=-6. La relación viene a ser (1/2)*x^2 - 6 = y, o sea, una parábola. Entonces todos los puntos de esa parábola forman la curva de nivel donde f(x,y)=-6.

    Tu plot no se corta porque estas dibujando la función f(x,y) con la restricción, NO la propia restricción.

    Por cierto, las curvas de nivel pueden ser con valores reales, no hace falta que sean números enteros.

    EDIT: Te adjunto una gráfica de f(x,y), donde la curva negra es la "curva de la restricción plasmada sobre la función", el punto amarillo es el máximo local en esa restricción y la curva roja es la curva de nivel asociada a f(x,y)=-6.
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  13. #12
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    Re: Es valido esto para solucionar el problema (Vectores, lineas en el plano)?

    Citar Mensaje original enviado por El Froz Ver Mensaje
    Por cierto, las curvas de nivel pueden ser con valores reales, no hace falta que sean números enteros. Tampoco hace falta que sea tangente la curva de nivel a la 'curva' de la restricción, pero sí debe tocarla.
    En realidad sí, eso te lo dice el teorema de los multiplicadores de Lagrange.

    En este ejemplo, al graficar la curva f(x,y)=-6 junto con x*y=8 te queda algo así:



    El punto (de abajo) donde se tocan es (-2;-4), el cual corresponde al máximo relativo de f restringida a la curva x*y=8. En ese punto las rectas tangentes a ambas curvas, son la misma.
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  14. #13
    Avatar de Radmofo
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    Re: Es valido esto para solucionar el problema (Vectores, lineas en el plano)?

    Citar Mensaje original enviado por Harry Haller Ver Mensaje
    En realidad sí, eso te lo dice el teorema de los multiplicadores de Lagrange.

    En este ejemplo, al graficar la curva f(x,y)=-6 junto con x*y=8 te queda algo así:



    El punto (de abajo) donde se tocan es (-2;-4), el cual corresponde al máximo relativo de f restringida a la curva x*y=8. En ese punto las rectas tangentes a ambas curvas, son la misma.
    But wait, me esta costando procesar esto Sr Haller....ese punto de tangencia, acaso, no es menor, que los puntos en donde se cortan (primer cuadrante)? Por que?
    Como se si eso pertenece al maximo o minimo?

    Siento que el ejercicio lo saque bien, pero no entendi el procedimiento.
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  15. #14
    Avatar de Harry Haller
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    Re: Es valido esto para solucionar el problema (Vectores, lineas en el plano)?

    Citar Mensaje original enviado por Radmofo Ver Mensaje
    But wait, me esta costando procesar esto Sr Haller....ese punto de tangencia, acaso, no es menor, que los puntos en donde se cortan (primer cuadrante)? Por que?
    No, en ambos puntos f vale -6, justamente porque la parábola es la curva de nivel f(x,y)=-6. Pero el del cuarto cuadrante es extremo local y el del primero no lo es.
    No contradice nada que en un punto del primer cuadrante f valga más que en el (-2;-4) porque (-2;-4) es máximo local y no global. De hecho es verdad, en la rama de la hipérbola del primer cuadrante, f no está acotada superiormente (ni inferiormente), así que ese máximo es solo relativo.
    Como se si eso pertenece al maximo o minimo?
    Lo que hiciste vos está bien, como la función (de x) tiene derivada segunda negativa en x=-2, el punto correspondiente (-2;-4) es máximo local de la función restringida.
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  16. #15
    Avatar de El Froz
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    Re: Es valido esto para solucionar el problema (Vectores, lineas en el plano)?

    Citar Mensaje original enviado por Harry Haller Ver Mensaje
    En realidad sí, eso te lo dice el teorema de los multiplicadores de Lagrange.
    Cierto. Edito.


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