Matemática Discreta - Principio Inducción.Método de resolución de ejercicios...Ayuda

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  1. #1
    Avatar de M4UR1
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    Question Matemática Discreta - Principio Inducción.Método de resolución de ejercicios...Ayuda

    Buenas! tengo un problema con el metodo de resolcion de ejercicios, basicamente necesito una idea de como resolver los ejercicios...nose como arrancar... :S

    si alguien me puede dar una mano....

    - Probar si la afirmación es correcta usando inducción en n:

    n² ≤ 2^n para todo n perteneciente a los Naturales, n > 3.

    Si alguien me puede ayudar estaria buenisimo...porque estoy perdidisimo y tengo un parcial en 3 semanas


    Gracias!
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  3. #2
    Avatar de Abend
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    Re: Matemática Discreta - Principio Inducción.Método de resolución de ejercicios...Ay

    Te digo como la encararia yo, teniendo n^2<=2^n

    (n^2)/(2^n)<=1

    Si esto fuera cierto si hago el limite tendiendo n a infinito deberia dar 0 ya que deberia crecer el denominador mas rapido, si da infinito significa que el numerador tiende mas rapido a infinito y seria falsa.

    lim n->inf (n^2)/(2^n)

    Como es una indeterminacion inf/inf podes aplicar lhopital:

    lim n->inf (2n)/(log 2 * 2^n)

    Como ves otra vez inf/inf, aplicas lhopital de vuelta:

    lim n->inf 2/[(log 2)^2 * 2^n)]

    por lo que el resultado da 0, con eso estaria justificado.
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    Última edición por Fiestita. : 26-03-12 el 11:14 PM

  4. #3
    Avatar de Jons Jacob
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    Re: Matemática Discreta - Principio Inducción.Método de resolución de ejercicios...Ay

    ¿Qué entendés por inducción? Es bastante facil demostrarlo..
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    El arte de hacer matemáticas consiste en encontrar ese caso especial que contiene todos los gérmenes de la generalidad.

  5. #4
    Avatar de cipos
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    Re: Matemática Discreta - Principio Inducción.Método de resolución de ejercicios...Ay

    A ver, yo lo resolvería de la siguiente manera usando inducción.

    Lo pongo resuelto por que no me parece que sea un ejercicio de esos que se resuelven de forma mecánica. Si no les parece lo edito y veo como puedo explicar la idea sin resolverlo.


    n^2 ≤ 2 ^n

    Caso base: n=4

    4^2 ≤ 2^4

    16 ≤ 16
    Cierto

    Hipótesis de inducción: n^2 ≤ 2^n

    Demuestro para (n+1):

    (n+1)^2 ≤ 2.2^n

    Ahora tenemos qué:

    2.n^2 ≤ 2.2^n (Por hipótesis de inducción).
    Despejando:

    n^2 ≤ 2^n (lo que es cierto por HI).

    Ahora si mostras qué:
    (n+1)^2 ≤ 2n^2 quedaría demostrado (por transición, n+1^2 ≤ 2n^2 ≤ 2.2^n = 2^(n+1)).

    n^2+2n+1 ≤ 2n^2 (abrí el n+1 al cuadrado).

    1 ≤ 2n^2-n^2-2n
    1 ≤ n^2-2n

    Completando cuadrados:

    1 ≤ (n-1)^2 - 1

    2 ≤ (n-1)^2

    Es fácil ver que eso se cumple si, 4≤n. Aún más se cumple para n=3 pero eso no importa para este ejercicio.

    Puedes usar inducción (o mostrarlo de otra forma, es bastante obvia esa desigualdad) para mostrar esto último y con eso quedaría demostrado.

    Revisa por que puedo haber metido la pata en alguna desigualdad, pero lo importante es donde "ver" donde se usa la hipótesis de inducción.
    Saludos!.
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    Última edición por cipos : 27-03-12 el 11:43 PM

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