Duda Combinatoria

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  1. #1
    Avatar de Amadeo.
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    Duda Combinatoria

    Buenas, tengo una duda con el siguiente ejercicio, dice:

    Sean A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}

    Contar la cantidad de funciones sobreyectivas f: B --> A que satisfacen #(f⁻¹(1)) >= 7 (cardinal de F a la -1 de 1 mayor o igual que 7).

    Yo lo que hice fue separar en 4 casos, en los cuales #(f⁻¹(1)) = 7, #(f⁻¹(1)) = 8, #(f⁻¹(1)) = 9 y #(f⁻¹(1)) = 10.

    En el primer caso:

    f(1) = 7 posibilidades
    Desde f(2) hasta f(11) los fijo con los números 1, 2, 3,..., 10, respectivamente (para asegurarme de que sea sobreyectiva)
    Desde f(12) hasta f(20) tengo 10 posibilidades para cada uno, ya que no tengo ninguna restricción.

    Entonces al final de todo me quedaría que la cantidad de funciones son 7 x 10⁹
    Y en los demás casos tendría 8 x 10⁹, 9 x 10⁹, 10¹⁰.

    ¿Esta bien o le pifie en algo?
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    Última edición por Amadeo. : 15-12-11 el 08:55 PM
     

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  3. #2
    Avatar de CibGKs
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    Re: Duda Combinatoria

    Buscá acerca de los números de stirling de 2da fase (algo así los había estudiado). Son buenos para contar funciones sobre.
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    Última edición por CibGKs : 13-12-11 el 01:51 PM
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  4. #3
    Avatar de tapian
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    Re: Duda Combinatoria

    Te faltó considerar #(f⁻¹(1)) = 11.

    Yo lo pensé asi:

    De los 20 números de B necesitamos 10 para hacer la función sobreyectiva. Esto son combinaciones.

    Ahora separamos por casos:
    -Para cardinalidad 7, de los 10 restantes necesitamos 6 que vayan al 1. Son combinaciones.

    Y los 4 restantes se pueden agrupar de cualquier manera en los 9 otros números. Son posibilidades.

    Para el resto de los casos es análogo, y el resultado final sería:


    Si hay algo que ves que está mal decime.
    Saludos!
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  5. #4
    Avatar de Amadeo.
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    Re: Duda Combinatoria

    Citar Mensaje original enviado por tapian Ver Mensaje
    Te faltó considerar #(f⁻¹(1)) = 11.
    ¿Pero con #(f⁻¹(1)) = 11 no estas diciendo que existen 11 posibles números para asignarle al 1 de B?
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  6. #5
    Avatar de tapian
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    Re: Duda Combinatoria

    f(1)=1
    f(2)=2
    ...
    f(9)=9
    f(10)=10
    f(11)=1
    f(12)=1
    ...
    f(20)=1

    Eso es un caso de #(f⁻¹(1)) = 11 con f sobreyectiva.
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