Raíces con teorema (Cálculo)

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  1. #1
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    Raíces con teorema (Cálculo)

    Demostrar que la ecuación 6x^4 - 7x + 1 = 0 no tiene mas de dos raíces reales distintas (utilizar teorema de Rolle)

    http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Rolle
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  3. #2
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    Re: Raíces con teorema (Cálculo)

    Lo que entendí ahi del teorema es que si vos tenes una función que cumple las propiedades que te dice en el articulo , entonces existe un punto C que esta en el intervalo cerrado que estas evaluando , tal que la derivada de la función en ese punto es cero.

    En pocas palabras tendrías que estudiar esa función ya que lo que te piden es que encuentres 2 soluciones reales de f'(c) = 0 y eso es seguro que va a pasar ya que al ser continua esa función vas a tener al menos un máximo y un mínimo en todo el intervalo de los reales. Eso es lo que entendi , capas le pifie feo pero bue trato de ayudar.
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    Me imagino los operarios de la maquina de tapitas ganando como un ingeniero nuclear.
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    Estar sobrio en un boliche y ver la gente bailar, es como ver a una manada de monos saltando en donde nada tiene sentido. Te clavas unos fernet y ya sos un mono mas cagandote de risa....
     

  4. #3
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    Re: Raíces con teorema (Cálculo)

    La idea de probar cosas con raices usando Rolle suele pasar por tomar f(a) = f(b) = 0, y el teorema te dice que en (a,b) hay un máximo o mínimo, y con eso probás por absurdo (en este caso por ejemplo, si hay 3 ceros hay al menos 2 puntos críticos, como tiene uno solo, es falso que hay 3 ceros en la recta real).
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  5. #4
    Avatar de Puchenko
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    Re: Raíces con teorema (Cálculo)

    Le saqué la derivada a la función y me di cuenta que tiene una sola raíz (la ecuación de la derivada) por lo tanto su primitiva tiene dos raíces, pero no se como encastrarlo con lo del teorema.
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  6. #5
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    Re: Raíces con teorema (Cálculo)

    Existen a y b tal que f(a) = f(b) = 0. Si existe c tal que f(c) = 0, c != a != b, se cumple Rolle para otro intervalo (el (c,a), por ejemplo, depende donde esté c), y tenés otro punto crítico (f' = 0). Pero como solo hay uno, no puede existir c.

    Citar Mensaje original enviado por Thurk Ver Mensaje
    La idea de probar cosas con raices usando Rolle suele pasar por tomar f(a) = f(b) = 0, y el teorema te dice que en (a,b) hay un máximo o mínimo, y con eso probás por absurdo (en este caso por ejemplo, si hay 3 ceros hay al menos 2 puntos críticos, como tiene uno solo, es falso que hay 3 ceros en la recta real).
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  7. #6
    Avatar de o'reilly
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    Re: Raíces con teorema (Cálculo)

    Citar Mensaje original enviado por Thurk Ver Mensaje
    Existen a y b tal que f(a) = f(b) = 0. Si existe c tal que f(c) = 0, c != a != b, se cumple Rolle para otro intervalo (el (c,a), por ejemplo, depende donde esté c), y tenés otro punto crítico (f' = 0). Pero como solo hay uno, no puede existir c.
    Esta bien tu demostracion, pero en general no hace falta afirmar que existen dos raices. Es suficiente con decir que si existieran a < b < c tales que f(a) = f(b) = f(c) = 0, entonces como la funcion es derivable en todo R, deberia haber raices de f' en (a, b) y en (b, c). Si no las hay, entonces f no tiene mas de dos raices.
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  8. #7
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    Re: Raíces con teorema (Cálculo)

    Depende del enunciado no es lo mismo decir "probar que no hay más de 2 raíces" que "probar que sólo hay dos raíces". Pero si, es un detalle.
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  9. #8
    Avatar de Akuma
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    Re: Raíces con teorema (Cálculo)

    Les falto un pequeño detalle:

    Si f'(x) = 0; entonces hay un punto crítico.
    Para que exista raíz:
    a) Mínimo y f(x) < 0
    o bien
    b) Máximo y f(x) > 0

    Estos es porque podes tener un mínimo en x=2; pero si f(x) = 3,563; entonces la función nunca va a pasar por el eje de abcisas.
    Pensa que cuando tenes un máximo o mínimo, esta cambiando "la pendiente", en particular la concavidad respesto del eje abcisas.


    Con el grafico se entiende más.
    Fijate que es una función cúbica, por lo que tiene 3 o 1 raiz real.
    Buscando los máximos (f'(x)=0); y mirando los signos de la derivada a ambos lados y los valores de la función en los puntos, podes determinar cuantas raíces existen

    Creo, CREO, yo lo habia visto esto como el Teorema de Bolsano en el secundario.
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  10. #9
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    Re: Raíces con teorema (Cálculo)

    El teorema de Bolsano es otro. Ese dice que si f(a) > 0 y f(b) < 0 entonces existe c, tal que f(c)=0 (Obviamente pide que la funcion sea continua y no recuerdo si alguna idiotez mas). Es un teorema re triste jaja.
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  11. #10
    Avatar de Jons Jacob
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    Re: Raíces con teorema (Cálculo)



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    El arte de hacer matemáticas consiste en encontrar ese caso especial que contiene todos los gérmenes de la generalidad.
     

  12. #11
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    Re: Raíces con teorema (Cálculo)

    Jajajaja Nerddd
    (no sería el teorema del valor medio?)
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  13. #12
    Avatar de o'reilly
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    Re: Raíces con teorema (Cálculo)

    Citar Mensaje original enviado por Akuma Ver Mensaje
    Les falto un pequeño detalle
    Que detalle? Podes dar una funcion concreta como contra-ejemplo?
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  14. #13
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    Re: Raíces con teorema (Cálculo)

    Resuelto:

    El teorema de rolle plantea que si una función f(x); y f(a)=f(c) = g; entonces entre [a,c] existe un b, tal que f(b) = 0. [fijate que se cumple incuso en el caso de que g sea 0 !]
    La condición es que la función sea continua (bla bla bla).

    Yo lo que estoy planteando es el enunciado, pide demostrar que existen COMO MUCHO 2 raices.
    O sea, al ser una función de grado 4, las posiblidades son que tenga 4 raices reales, 2 raices reales o 0 raices reales.
    Existe el caso de que tenga "3 o 1 raiz" y esto depende de que tenga raices dobles.

    Llamemos H(x) = 6*X^4 - 7X + 1.

    Los máximos los hallamos planteando la condición de punto crítico (aca aplicamos el teorema de rolle):

    H'(x)=0
    H'(x)= 24x^3 - 7 = 0
    x = (7/24)^1/3 ~ 0.66318

    O sea, que la función tiene 1 solo punto crítico en x =~ 0,66318

    Ahora, usando lo que dije, si evaluamos la función en el punto y en valores del entorno (o evaluando la pendiente en el entorno también).
    Podemos deducir que es un mínimo; por lo que esta función tendra 2 raíces solamente.

    Tiene raíces en x1=0.14322 y x2=1.


    ¿Porque digo estudiar el signo de la función y el entorno?
    Podría darse el caso de tener 1 solo punto crítico mínimo, como en este caso. Pero si este mínimo se encuentra por encima del eje de abcisas (o sea y > 0; es decir que f(x-critico) = N>0; entonces la función "nunca cortaría al eje de abcisas", entonces la función no tiene raices.


    (espero que esto haya aclarado lo que oreilly preguntaba)
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  15. #14
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    Re: Raíces con teorema (Cálculo)

    Citar Mensaje original enviado por Akuma Ver Mensaje
    ¿Porque digo estudiar el signo de la función y el entorno?
    Podría darse el caso de tener 1 solo punto crítico mínimo, como en este caso. Pero si este mínimo se encuentra por encima del eje de abcisas (o sea y > 0; es decir que f(x-critico) = N>0; entonces la función "nunca cortaría al eje de abcisas", entonces la función no tiene raices.

    (espero que esto haya aclarado lo que oreilly preguntaba)
    El enunciado no pide demostrar que hay dos raices, pide demostrar que no hay mas de dos raices. Si tiene 0, 1 o 2 da lo mismo.

    La demostracion que posteo Thurk esta completa. No es necesario ver que tipo de punto critico es, ni nada de eso.

    EDIT: El teorema es simple.

    Si

    1) f es derivable en todo R,
    2) f' tiene una sola raiz real

    entonces:

    f no tiene mas de dos raices reales distintas

    Si pensas que esas premisas no son suficientes para demostrar lo que pide el ejercicio, da un ejemplo de una funcion que cumpla 1) y 2) pero tenga mas de dos raices reales.
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    Última edición por o'reilly : 01-10-10 el 11:53 PM
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  16. #15
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    Re: Raíces con teorema (Cálculo)

    Citar Mensaje original enviado por Akuma Ver Mensaje

    El teorema de rolle plantea que si una función f(x); y f(a)=f(c) = g; entonces entre [a,c] existe un b, tal que f(b) = 0. [fijate que se cumple incuso en el caso de que g sea 0 !]
    La condición es que la función sea continua (bla bla bla).
    te referis a f'(b) = 0 supongo no?

    y no veo donde usaste el teorema de rolle, mas que para enunciarlo...
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    Citar Mensaje original enviado por Mumm'Ra Ver Mensaje
    Que asquito el pais popular peronista grasa que se viene.
    Citar Mensaje original enviado por BWR-777 Ver Mensaje
    Los derechos humanos destruyen la diversidad.
     

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