Consultas sobre Análisis Matemático

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  1. #1
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    Consultas sobre Análisis Matemático

    Voy con la primera, sobre Aproximación Lineal.

    Para encontrar una aproximación de se puede hacer tal como se explica a continuación.

    1. Se plantea la función , Por lo tanto, el problema consiste al encontrar el valor de f(25).
    2. Se tiene



    3. De acuerdo con la aproximación lineal



    4. El resultado, 2,926, es bastante cercano al valor de la función 2,924…
    ¿El "27" de dónde sale?
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  3. #2
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    Re: Consultas sobre Análisis Matemático

    No me acuerdo mucho, pero creo que basta con que tomes un valor cercano a x, arbitrario.
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  4. #3
    Avatar de Wayne
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    Re: Consultas sobre Análisis Matemático

    No importa si es más chico o más grande? O sea que la elección es totalmente arbitrara?

    EDIT: Es buscar un valor cercano que tenga raiz exacta, según lo que leí. Por eso toma el 27.
    27^1/3=3
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  5. #4
    Avatar de Thurk
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    Re: Consultas sobre Análisis Matemático

    No es arbitrario, en esos problemas siempre te van a pedir un x0 cercano a algún valor que vos ya conozcas. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 62, o el logaritmo de 1,3, o el seno de pi/100, etc.
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  6. #5
    Avatar de Raiden.
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    Re: Consultas sobre Análisis Matemático

    No importa si es mayor o menor, la diferencia está en que el (25 - x) va a quedar positivo o negativo.
    Por ejemplo en este caso si tomás el 8 te quedaría:
    f(8) + f'(8) . (25-8) = 2 + 17/12 = 3,41667
    Pero el resultado no es tan aproximado como el anterior ya que el 8 está muy lejos del 25, para que quede más aproximado habría que considerar más terminos.

    El número que se elije tiene que, estar "cerca" del número en cuestión y además que se conozcan los resultados de las funciones, por eso se elije 27, ya que se conoce 27^(1/3)
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  7. #6
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    Re: Consultas sobre Análisis Matemático

    Por si no se entiende por qué tiene que estar cerca, Estás aproximando por la recta tangente a ese punto, y la recta tangente se comporta parecido a la función en ese entornito, fuera de eso puede ser cualquier cosa. En una exponencial capaz no tanto porque es una curva suave, pero la función puede ser una cosa horrenda y no va a tener nada que ver.
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  8. #7
    Avatar de Wayne
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    Re: Consultas sobre Análisis Matemático

    Gracias por las rtas.!

    EDITT!!!
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    Última edición por Wayne : 01-08-10 el 12:46 AM
     

  9. #8
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    Re: Consultas sobre Análisis Matemático

    Tengo un ejercicio resuelto, pero no logro entender qué propiedades trigonométricas u operaciones se realizaron para obtener el siguiente límite:

    (imagen adjunta -no se por qué salió chica- pero al hacerle click se ve grande ; y al usar el latex del foro me salía un recuadro en blanco)


    lim.jpg
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  10. #9
    Avatar de Jons Jacob
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    Re: Consultas sobre Análisis Matemático

    Para pasar de formula a formula se usa la identidad

    formula y ahí haciendo un cambio de variable. Lo demás es inmediato.

    Fijate si te sale.

    Spoiler!  
    formula
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    El arte de hacer matemáticas consiste en encontrar ese caso especial que contiene todos los gérmenes de la generalidad.
     

  11. #10
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    Re: Consultas sobre Análisis Matemático

    Gracias Jons. Al final lo hice usando:

    sen^2 (x) = 1/2 [ 1 - cos(2x) ]

    Con despejes y cambios de variables llegué al resultado correcto.
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  12. #11
    Avatar de Wayne
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    Re: Consultas sobre Análisis Matemático

    El ejercicio ya lo tengo resuelto. Tengo que averiguar las cordenadas de los vértices de un triángulo isósceles de área máxima. Uno de sus vértices está en (0,0) y los otros 2 son puntos simétricos de la parábola F(x) = -2x^2 + 162

    triang.jpg

    Spoiler!  Pasos previos  
    Area = (b*h)/2

    b=2x
    h=y=-2x^2 + 162

    Por lo tanto:

    Area = X*(-2x^2 + 162)


    Area = -2x^3 + 162x

    Ahora que se conoce la expresión del área, se saca su derivada primera y su derivada segunda.

    Una vez que tiene la derivada primera, la iguala a 0, despeja X, y da como resultado: X = 3*raiz(3).

    Y luego, calcula la derivada segunda en funcion de de ese valor:
    A´´(3*raiz(3)) < 0

    Y como dió menor a 0, se llega a la conclusión de que (3*raiz(3)) corresponde al máximo de X. Y obviamente, luego se calculan los vértices.



    Consulta: cual sería la interpretación de igual la derivada a 0, despejar x, colocarlo en la derivada segunda, y comprobar que sea menor a 0. Por qué se hace eso? Cuál es el nombre de este tema para poder interiorizarme un poco más?
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  13. #12
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    Re: Consultas sobre Análisis Matemático

    A ver si entendí bien tu pregunta, que la derivada en un punto sea igual a 0 quiere decir que ese punto es un punto crítico (ya sea máximo, mínimo o punto silla).

    Pero sacando que la derivada primera es igual a 0 no te alcanza para saber si es máximo o mínimo. Entonces para eso calculás la derivada segunda en ese punto, si da negativa es que es un máximo, si da positiva un mínimo, y si da 0 era un punto silla (si tuvieras 2 o más variables tendrías que hacer otras cosas más feas, pero bueh, ese es otro tema )

    El tema en sí ni idea cual sería exactamente, pero busca sobre puntos críticos, concavidad y convexidad que por ahí anda la cosa.
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  14. #13
    Avatar de Raiden.
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    Re: Consultas sobre Análisis Matemático

    Citar Mensaje original enviado por Wayne Ver Mensaje
    Consulta: cual sería la interpretación de igual la derivada a 0, despejar x, colocarlo en la derivada segunda, y comprobar que sea menor a 0. Por qué se hace eso? Cuál es el nombre de este tema para poder interiorizarme un poco más?
    Cuando la derivada vale 0 significa que la recta tangente tiene pendiente nula, cuando la pendiente es nula tenés un "punto crítico", que puede llegar a ser un máximo o un mínimo (o no serlo). Para entender esto fijate en algún gráfico de una función las rectas tangentes y vas a ver que cuando tenés un máximo o mínimo la recta va a ser horizontal (derivada primera igual a 0). Entonces los valores de X para los cuales la derivada se anula van a ser los posibles valores de X para los que hay máximo/mínimo.

    Ahora, el signo de la derivada segunda lo que te indica es el CRECIMIENTO de la derivada primera (por ser la derivada de la derivada primera), entonces, si te da un número menor a 0 significa que para ese punto las rectas tangentes van a tener cada vez una pendiente menor, entonces, van a estar indicando que la función tiene un máximo en ese punto (imaginate una U invertida, las rectas tangentes en cada punto tienen cada vez menos pendiente hasta que llegan a 0 arriba del todo y luego tienen pendientes cada vez más negativas). Si la derivada segunda en X da mayor a 0 vas a tener lo opuesto a lo que dije antes (imaginate una U, las rectas tangentes van ganando pendiente a medida se avanza en X, pasando por el 0). Esto de que pasan por el 0 sale de que son puntos críticos, por lo tanto la derivada primera va a valer 0 en el extremo.

    Ahora, si tenés algo parecido a una U invertida (o sea f''(x) < 0) vas a tener un máximo, y si tenés algo parecido a una U (o sea f''(x) > 0) vas a tener un mínimo

    Si en cambio la derivada segunda en ese punto vale 0 no vas a tener ni mínimo ni máximo. Esto es porque la variación de las pendientes de las rectas tangentes va a tener un "máximo" o un "mínimo" (o sea tenés un "punto crítico" para las pendientes de las rectas tangentes), entonces, hacia la izquierda y hacia la derecha vas a tener o crecimiento de pendiente de rectas tangentes hacia ambos lados o decrecimiento de pendiente de rectas tangentes hacia ambos lados. Esto es medio complicado de entender sin gráficos, el caso es que esto determina que vas a tener algo parecido al punto central de una S, o sea que no hay ni máximo ni mínimo en ese punto.

    Todo esto que expliqué es para funciones en general, en el caso de un área solo te interesa el máximo, además sabés que el área es positiva. Además, por como planteaste el ejercicio la X va a ser siempre positiva (ya que -X esta a la izquierda del 0 y +X a la derecha), entonces al despejar X tomás solo su valor positivo.

    Si no se entendió un punto en particular avisáme.
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    Última edición por Raiden. : 01-08-10 el 11:32 PM
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  15. #14
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    Re: Consultas sobre Análisis Matemático

    Citar Mensaje original enviado por Raiden. Ver Mensaje
    Si en cambio la derivada segunda en ese punto vale 0 no vas a tener ni mínimo ni máximo. Esto es porque la variación de las pendientes de las rectas tangentes va a tener un "máximo" o un "mínimo" (o sea tenés un "punto crítico" para las pendientes de las rectas tangentes), entonces, hacia la izquierda y hacia la derecha vas a tener o crecimiento de pendiente de rectas tangentes hacia ambos lados o decrecimiento de pendiente de rectas tangentes hacia ambos lados. Esto es medio complicado de entender sin gráficos, el caso es que esto determina que vas a tener algo parecido al punto central de una S, o sea que no hay ni máximo ni mínimo en ese punto.
    Para hacerla fácil, un ejemplo sería x = 0 en f(x) = x^3
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  16. #15
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    Re: Consultas sobre Análisis Matemático

    Citar Mensaje original enviado por Posse. Ver Mensaje
    Para hacerla fácil, un ejemplo sería x = 0 en f(x) = x^3
    Exacto. Si querés entenderlo bien dibujá en una hoja la función y trazá algunas rectas tangentes y fijate como van cambiando las pendientes.
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