Dudas con Álgebra y Geometría Analítica

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  1. #1
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    Dudas con Álgebra y Geometría Analítica

    Tengo algunas dudas sobre el tema "rectas y planos". Acá dejo la primera:



    Según la explicación de cómo armar una ecuación vectorial de la recta a partir de la recta formada por la intersección de 2 planos:

    Plano1: x + y - 2z - 1 = 0
    Plano2: x - 2y -z + 3 =0

    Lo primero que tengo que hacer es encontrar las normales de cada plano (1, 1, -2) y (1, -2, -1), y hacer un producto vectorial entre ellas para obtener el vector director de la recta. El producto vectorial me da (-5, -1, -3).

    El siguiente paso sería tomar cualquier punto perteneciente a la recta. Pero no se cómo elegir un punto que forme parte de la misma. La explicación elige el punto (-7, 0, -4).

    Por lo tanto, la ecuacion de la recta queda:

    (x,y,z) = (-7, 0, -4) + K (-5, -1, -3)


    En fin, la pregunta es: ¿cómo eligió el punto (-7, 0, -4)? o bien, ¿cómo elijo otro punto perteneciente a la recta?

    Gracias!
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    Última edición por Wayne : 01-07-10 el 09:46 PM
     

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  3. #2
    Avatar de Jons Jacob
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    Re: Dudas con Álgebra y Geometría Analítica

    Creo que tiene que ver con que cumple las ecuaciones de los planos..
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    El arte de hacer matemáticas consiste en encontrar ese caso especial que contiene todos los gérmenes de la generalidad.
     

  4. #3
    Avatar de Wayne
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    Re: Dudas con Álgebra y Geometría Analítica

    Citar Mensaje original enviado por Jons Jacob Ver Mensaje
    Creo que tiene que ver con que cumple las ecuaciones de los planos..
    Tenés razón, no lo había visto. Gracias
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  5. #4
    Avatar de Ladan
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    Re: Dudas con Álgebra y Geometría Analítica

    Claro, al tener dos ecuaciones y tres incógnitas, fijás el valor de una y te quedan entonces dos ecuaciones con dos incógnitas, de ahí podés conocer las otras dos y encontrar el punto de la recta.

    Para que quede de esa manera hay que elegir y = 0

    x + 0 - 2.z - 1 = 0
    x - 2.0 - z + 3 = 0

    x = 2.z + 1
    x = z - 3

    2.z + 1 = z - 3
    z = -4

    x = -7
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  6. #5
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    Re: Dudas con Álgebra y Geometría Analítica

    Genial! Gracias.
    El tema de planos y rectas me está complicando la vida. Tengo un ejercicio que no me sale. Bah, no encuentro la forma de calcular la normal al plano, que creo que es lo que hay que hacer primero.

    Averiguar ecuación vectorial, general y segmentaria de un plano que:
    Contiene al eje de cotas y al punto (2, -1, -3).

    Una vez que conozca la normal, las ecuaciones las saco. El tema es como obtener la normal.
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  7. #6
    Avatar de Jons Jacob
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    Re: Dudas con Álgebra y Geometría Analítica

    Si sabés las coordenadas del eje de cotas y el punto ese sale fácil..
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    El arte de hacer matemáticas consiste en encontrar ese caso especial que contiene todos los gérmenes de la generalidad.
     

  8. #7
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    Re: Dudas con Álgebra y Geometría Analítica

    aasdads
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  9. #8
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    Re: Dudas con Álgebra y Geometría Analítica

    Es verdad Jons. Le voy agarrando la mano. Es muy fácil ese ejercicio que plantié. Me di cuenta que venía haciendo casi todo mal.

    PD: Consistía en colocar Cz y D en 0, y listo. Sale solo.
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  10. #9
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    Re: Dudas con Álgebra y Geometría Analítica

    Posteamos al mismo tiempo.

    Pero no, Ladan. Con esos 2 datos, solo es posible encontrar un único plano.

    Si fuese solo que contenga al eje Z, habría infinos planos, pero al haber un cierto punto contenido en el plano, la solución es única.

    PD, La respuesta es X + 2Y = 0. Y como dije arriba, se llega a la mismo igualando D = 0 (para indicar que pasa por le origen) y Cz = 0 (para indicar que es paralelo al eje Z)
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  11. #10
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    Re: Dudas con Álgebra y Geometría Analítica

    Soy un nabo, leí eje de coordenadas en vez de eje de cotas, interpretando que contenía al (0,0,0) y no a una recta, entonces no alcanzaban los datos. No dije nada

    Y está bíen lo que hiciste, da eso.
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    Última edición por Ladan : 02-07-10 el 12:59 AM
     

  12. #11
    Avatar de Wayne
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    Re: Dudas con Álgebra y Geometría Analítica

    edit!!!!!
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  13. #12
    Avatar de Wayne
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    Re: Dudas con Álgebra y Geometría Analítica

    Me dan un mano con este ejercicio:

    Dadas las rectas:

    L1:
    (x-1)/2 = y = z + 3

    L2:
    x = 1 + t
    y = 2
    z = -1 - t

    Obtener el plano M sabiendo que:
    L1 ⊂ M -------- y ------- L2 es paralela a M.
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  14. #13
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    Re: Dudas con Álgebra y Geometría Analítica

    Citar Mensaje original enviado por Wayne Ver Mensaje
    Me dan un mano con este ejercicio:

    Dadas las rectas:

    L1:
    (x-1)/2 = y = z + 3

    L2:
    x = 1 + t
    y = 2
    z = -1 - t

    Obtener el plano M sabiendo que:
    L1 ⊂ M -------- y ------- L2 es paralela a M.
    L1 : (x,y,z) = (2y+1,y,y-3) = t(2,1,1) + (1,0,-3)
    L2 : (x,y,z) = (1+t,2,-1-t) = t(1,0,-1) + (1,2,-1)

    i)Te dicen que la recta L1 esta incluído en el plano M
    ii)Te dicen que la recta L2 es paralela al plano M.

    en ii) tenes 2 situaciones por ser paralela:
    o se inersecta con el plano; y por lo tanto L2 también esta incluída en M
    o no se intersecta con el plano; y por lo tanto L2 esta por encima o por debajo de M

    Si asumo i) -> Si L2 esta incluida en M (y como los vectores directores de L1 y L2 son distintos) se tienen que intersectar en un punto.

    2t+1 = 1+t
    t = 2
    t-3 = -1-t

    Se tiene que cumplir las, como no se cumplen, entonces L2 no esta incluído en M.

    Ahora, sabes que el vector director del plano M, es perpendicular al director de L2 y L1:
    Entonces el producto vectorial de los vectores directores de L2 y L1 te da un vector director prpendicular a estos dos, y que por lo tanto va a ser la nomal del plano M.

    (2,1,1)x(1,0,-1)

    I.......J..........K
    2.......1.........1
    1.......0........-1
    ---------------
    -1......3........-1 = N

    compruebo:

    (-1,3,-1)*(2,1,1,) = -2+3-1 = 0
    (-1,3,-1)*(1,0,-1) = -1 +1 = 0

    entonces el plano M es

    (N)*(x,y,z) = N*p

    p es un punto cualquiera del plano, y P*N es una constante. Como L1 esta incluido en M, cualquier punto de esta recta (tomando cualquier t que quieras y hallando 1 punto) te debería dar:

    p e L1: tomo t = 0 -> 0*(2,1,1) + (1,0,-3) -> p = (1,0,-3)

    -x +3y -z = -1*(1) +3*(0) -1*(-3) = -1 +3
    -x +3y -z = 2

    [fijate que para cualquier punto de L1, por estar incluida la constante del plano da 2!]
    tomo t=1 -> p=(3,1,-2)
    -x +3y -z = (-3) + 3(1) - (-2)
    -x +3 -z = 2
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    Posta son un callejon evolutivo sin salida. Se van a quejar hasta la extincion.
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    Lo que vos creas no importa, lo que importa es lo que puedas demostrar.
    Citar Mensaje original enviado por Tiphareth
    ... sí, le entro a todo.
     

  15. #14
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    Re: Dudas con Álgebra y Geometría Analítica

    Buenísimo, Akuma. Ahora en cuanto tenga más tiempo lo leo. Gracias.
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  16. #15
    Avatar de Akuma
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    Re: Dudas con Álgebra y Geometría Analítica

    De nada.
    Si algo no esta claro, pregunta.
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