Dudas con Álgebra y Geometría Analítica

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  1. #46
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    Re: Dudas con Álgebra y Geometría Analítica

    Citar Mensaje original enviado por Wayne Ver Mensaje
    Gracias Akuma, te pasaste. Si tan solo los libros estuviesen escritos en forma tan pedagógica como tu explicación...

    Entonces, basándome en esto:



    Podría decir que (2,0,0) y (4,0,0) son linealmente dependientes, por lo tanto puedo eliminar tranquilamente uno de ellos que el resultado será el mismo?

    Entonces, lo mismo sucedería con el ejemplo que puse arriba:
    B={(1, -1, -2),(-2, 2, 4)}

    Al ser linealmente dependientes, elimino uno y, como me queda un solo vector, lo único que se podría generar sería una recta?
    Si, todo lo que dedujiste esta bien.
    Lo único al momento de redactarlo en un exámen nunca diría que "puedo eliminarlo" porque suena con poco formalismo; en vez; pondria la cuenta de que muestra que es Linealmente dependiente y diría; "por lo tanto se ve que los vectores que forman el subespacio son" o "[...]una base del subespacio puede ser".

    Vyeranthel: si perdon, son costumbre que me dejo un profesor; que dejo de llamar a las funciones f(x), g(x) y h(x); en el pizarron siempre escribía m(x) y decia "mongo aurelio de x"; y tampoco usaba vectires u y v; sino que decía que eso forzaba a que mal interpretemos enunciados (porque inmediatamente todos piensan que u y v generan un subespacio o la base del espacio).
    Aunque si; gralmente esas letras son las que se usan gralmente para exponer los temas teóricamente (f(x), g(x) y h(x) para análisis; B~B' para bases y S para subespacios; u y v como vectores generadores).
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  2. #47
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    Re: Dudas con Álgebra y Geometría Analítica

    Tenés razón, Akuma. Igual, dudo que alguna vez tengo que explicar el procedimiento en el parcial.

    -----

    Practicando me encontré con el siguiente ejercicio, pero estoy "trabado" y no se cómo seguir:

    Tengo una base de R3: B={V1,V2,V3} y tengo tres vectores: W1, W2, W3 cuyas coordenadas respecto de B son: (1,-2,3), (0,2,-1) y (0,0,2), respectivamente.

    Se me pide averiguar si {W1, W2, W3} es LI.

    Entonces planteé:

    [(W1)]B = (1, -2, 3)
    [(W2)]B = (0, 2, -1)
    [(W3)]B = (0, 0, 2)

    1(V1) - 2(V2) + 3(V3) = W1
    0(V1) - 2(V2) - 1(V3) = W2
    0(V1) + 0(V2) + 2(V3) = W2

    Lo que equivale a decir:

    1(V1) - 2(V2) + 3(V3) = W1
    2(V2) - 1(V3) = W2
    2(V3) = W2


    Creo que ese sería el planteo, el tema es que no se cómo armar, a partir de eso, W1, W2 y W3, para luego determinar si es LI o no. O quizás no haya que armar W1, W2 y W3, sino que existe alguna propiedad o algo por el estilo.
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  3. #48
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    Re: Dudas con Álgebra y Geometría Analítica

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    Última edición por Jons Jacob : 14-07-10 el 02:25 AM
    El arte de hacer matemáticas consiste en encontrar ese caso especial que contiene todos los gérmenes de la generalidad.
     

  4. #49
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    Re: Dudas con Álgebra y Geometría Analítica

    Editado! ^
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  5. #50
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    Re: Dudas con Álgebra y Geometría Analítica

    Leí cualquiera, no me hagas caso.
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  6. #51
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    Re: Dudas con Álgebra y Geometría Analítica

    Lo que te dan a vos son las componentes de w1,w2 y w3 en la base B. Lo q planteaste esta bien
    W1=v1-2v2+3v3
    W2=2v2-v3
    W3=2v3

    Ahora lo único q tenes q ver es si estos 3 vectores son linealmente independientes. Por lo cual se tiene q cumplir que
    aw1+bw2+cw3=0

    Y sustituyendo lo de antes y agrupando:


    av1+(-2a+b)v2+(3a-b+2c)v3= 0


    Por lo cual podes escribir a uno como combinación lineal de los demás:

    av1=-(-2a+b)v2-(3a-b+2c)v3

    Por lo cual son ld. Podes tomas cualqier valor para a b y c. Creo q es así, no se manicorta de otra forma
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  7. #52
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    Re: Dudas con Álgebra y Geometría Analítica

    Me parece que no esta bien planteado eso Vyeranthel.

    Creo que de la forma que vos decis:

    La único forma de escribir al 0 con una base LI, es escribir eso qeu vos pusiste:

    a*vi + b*v2 + c*v3 = 0

    De eso se tiene que desprender que la única posibilidad sea a=0, b=0, c=0; sino, significa que uno de tus vectores es linealmente dependiente de otro.

    Fijate que vos escribiste al final: a*vi = .........

    (acordate que si "pasas" a dividiendo; estas suponiendo que a=! 0 )
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  8. #53
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    Re: Dudas con Álgebra y Geometría Analítica

    Pero suponer que "a<>0", no sería incorrecto? Ahí ya estaría dando el pie para pensar que son LD.
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  9. #54
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    Re: Dudas con Álgebra y Geometría Analítica

    mm a la noche lo veo, lo escribi desde el iphone en el bondi pq estaba al dope y no sabia si estaba bien.
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  10. #55
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    Re: Dudas con Álgebra y Geometría Analítica

    Ok, dale! (Por lo menos te entretengo en el bondi )
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  11. #56
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    Re: Dudas con Álgebra y Geometría Analítica

    Citar Mensaje original enviado por vyeranthel Ver Mensaje
    mm a la noche lo veo, lo escribi desde el iphone en el bondi pq estaba al dope y no sabia si estaba bien.
    Si, ahora que lo releo, estoy seguro que esta mal.
    Si partimos de la hipótesis que uno de tus vectores es LD.

    Digamos que tenemos
    v1,v2 y v3.

    v3= 1*v1+2*v2

    a*v1+b*v2+c*v3=0

    me queda que
    a=-1
    b=-2
    c=1

    Por lo que anterior queda:

    -1*v1 -2*v2 +1*v3 = 0
    -1*v1 -2*v2 +1*(1*v1+2*v2) = 0 [reagrupando]
    -v1 + v1 -2v2 +2v2 = 0
    0 = 0

    En cambio, si tus vectores son LI (ej (1,0,0); (0,1,0);(0,0,1))
    No hay otra forma de escribir al cero:

    a*(1,0,0) + b*(0,1,0) + c*(0,0,1) = 0
    te queda:

    (a + 0 + 0, 0 + b + 0, 0 + 0 + c) = (0,0,0)

    De donde se ve que a, b y c deben ser 0.



    Si mal no recuerdo (consultalo con tus apuntes de clase, o con tu profesor);
    es que si tenes una Base; y los vectores Wb (W en base B); si B es LI (y lo es por ser BASE!); y W (en base b) son LI, entonces W es base del subespacio.

    La demostración no me la acuerdo [ni tengo ganas de probar hacerla]. Pero estoy casi seguro que existe y es así.

    @Wayne: justamente ese era mi punto; si partis de que a=0; despejando las otras letras llegas que b también debe ser 0 y que c también debe ser 0.
    Si por el contraro planteas que a=1 (o cualquier numero), vas a llegar a un absurdo.
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  12. #57
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    Re: Dudas con Álgebra y Geometría Analítica

    sorry, entiendan qe venia en el bondi y lo escribi directamente en el iph.... ahora qe lo plantie, me di cuenta qe escribi algo no tan burro, pero si incorrecto jja. moraleja: es preferible siempre escribir los ejercicios a mano y no pensarlos en el aire ajja
    NOTA: voy a poner cosas que voy a dar por sabidas, propiedades de determinantes, y de dependencia lineal de vectores en un determinante. es mas facil asi que haciendo el tipico procedimiento de igualar la combinacion lineal de vectores a 0, y que es LI si los escalares formula.

    formula es una base de formula
    Tenemos lo que se llama las componentes de un vector en una base, en este caso, las componentes de 3 vectores en la base B:

    para formula tenemos formula
    para formula tenemos formula
    para formula tenemos formula

    para que se entienda mejor el planteo voy a escribir las coordenadas de los vectores de la base formula, x ejemplo

    formula formula, formula

    entonces:

    formula
    formula
    formula

    Si mirás con cuidado, eso es lo mismo que decir que la matriz formula cuyas filas son las coordenadas (en la base canonica) de los formula es igual a

    formula

    (HACE COMO Q ESO DE "amp;" no esta, no se manejar bien las matrices en latex..)

    y llamando a las componentes de los formula con las mismas letras de los formula pero mayusculas nos queda qe:

    formula

    y entonces tenemos que formula

    El determinante de la matriz formada por los vectores de la base formula como sus filas deben ser distinto de cero por ser formula una base, entonces va a depender todo de si
    formula

    es o no es 0. si lo es, los vectores formula van a ser linealmente dependientes. si no, van a sar LI (y x lo tanto, tambien una base). calculando ese determinante, vas a ver que da formula. y x lo tanto, son LI, y los formula constituyen una base de formula

    Espero que hayas visto matrices y determinantes, sino veo complicado que entiendas..
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    Última edición por vyeranthel : 14-07-10 el 11:29 PM
     

  13. #58
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    Re: Dudas con Álgebra y Geometría Analítica

    Sin palabras. Te agradezco, che. Sí, se matrices y determinantes así que pude entender el procedimiento. Ahora voy a tratar de hacer, solo, algún ejercicio parecido. Gracias. Un tema menos!

    --

    Hago otra consulta. Tengo S1 y S2, y trato de obetener el generador de la suma (S1+S2) de dos formas distintas:

    S1 = {xeR3 / X1 = 2X2 y X3 = 0}
    [S1] = {(2, 1, 0)}

    S2 ={xeR3 / X1 = X2 = X3}
    [S2] = {(1, 1, 1)}

    ------------------------------------------------------
    *Método 1: (está hecho, en parte, por el profesor, así que debería estar bien)

    S1 + S2 = {u/u = a*V1 + b*V2}

    Entonces,

    (u1, u2, u3) = a*(2, 1, 0) + b*(1, 1, 1)
    (u1, u2, u3) = (2a + b , a + b , b)

    Armo el sistema, lo resuelvo, hago algunos pasajes y llego a la conclusión de que:
    u1 = 2u2 - u3

    Por lo tanto me queda que la suma es:

    S1 + S2 = {ueR3 / u1 = 2u2 - u3}

    Despejo el resultado en función de u2 y u3, y me queda:

    u = (u1 , u2 , u3)
    u = (2u2 - u3 , u2 , u3)
    u = u2*(2,1,0) + u3*(-1,0,1)

    S+T = gen {(2,1,0),(-1,0,1)}
    ------------------------------------------------------

    ------------------------------------------------------
    *Método 2:

    S1 + S2 = gen {gen S1 , gen S2}

    Por lo tanto,

    S1 + S2 = gen {(2, 1, 0),(1, 1, 1)}
    ------------------------------------------------------


    El tema es que no llego a los mismo resultados (generadores).
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    Última edición por Wayne : 14-07-10 el 11:57 PM
     

  14. #59
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    Re: Dudas con Álgebra y Geometría Analítica

    Citar Mensaje original enviado por Wayne Ver Mensaje
    Sin palabras. Te agradezco, che. Sí, se matrices y determinantes así que pude entender el procedimiento. Ahora voy a tratar de hacer, solo, algún ejercicio parecido. Gracias. Un tema menos!

    --

    Hago otra consulta. Tengo S1 y S2, y trato de obetener el generador de la suma (S1+S2) de dos formas distintas:

    S1 = {xeR3 / X1 = 2X2 y X3 = 0}
    [S1] = {(2, 1, 0)}

    S2 ={xeR3 / X1 = X2 = X3}
    [S2] = {(1, 1, 1)}

    ------------------------------------------------------
    *Método 1: (está hecho, en parte, por el profesor, así que debería estar bien)

    S1 + S2 = {u/u = a*V1 + b*V2}

    Entonces,

    (u1, u2, u3) = a*(2, 1, 0) + b*(1, 1, 1)
    (u1, u2, u3) = (2a + b , a + b , b)

    Armo el sistema, lo resuelvo, hago algunos pasajes y llego a la conclusión de que:
    u1 = 2u2 - u3

    Por lo tanto me queda que la suma es:

    S1 + S2 = {ueR3 / u1 = 2u2 - u3}

    Despejo el resultado en función de u2 y u3, y me queda:

    u = (u1 , u2 , u3)
    u = (2u2 - u3 , u2 , u3)
    u = u2*(2,1,0) + u3*(-1,0,1)

    S+T = gen {(2,1,0),(-1,0,1)}
    ------------------------------------------------------

    ------------------------------------------------------
    *Método 2:

    S1 + S2 = gen {gen S1 , gen S2}

    Por lo tanto,

    S1 + S2 = gen {(2, 1, 0),(1, 1, 1)}
    ------------------------------------------------------


    El tema es que no llego a los mismo resultados (generadores).
    Ambos metodos son correctos, y, aunque a simple vista pareciera que no llegaste a los mismos resultados, en verdad si lo hiciste.

    con el metodo 1 , un poco mas largo, llegaste a que formula

    y con el metodo 2, el mas comun y el que mas comunmente se usa, llegaste a formula

    Claramente, en ambos casos, los 2 vectores de S+T son LI. Lo que vos no ves a simple vista, es que esos 2 subespacios que hallaste son el mismo, basta con ver si el formula pertenece al formula (el s+t del metodo 1)

    para que esto ocurra, deben existir 2 escalares formula tal que

    formula

    y claramente

    formula

    por lo cual el formula pertenece al formula del primer metodo, y por lo tanto, formula

    Asi podrias haber buscado algun otro vector formula que pertenezca al subespacio generado por formula , y sustituir cualqiera de esos 2 vectores por el nuevo formula, que seguiria generando el mismo subespacio.
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  15. #60
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    Re: Dudas con Álgebra y Geometría Analítica

    Sí. Así es. Después de postear esa duda, apagué la PC y seguí haciendo unas pruebas. Llegué a la misma conclusión que me planteaste. Entonces prendí la PC y venía a decir que estaba bien, pero bueno... me ganaste de mano. Si llego a aprobar, les voy a deber un porcentaje de la nota a ustedes. Jeje.

    PD: Qué lindo queda todo con LaTex. Tendré que leer el tutorial para empezar a aplicarlo.
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