Dudas con Álgebra y Geometría Analítica

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  1. #31
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    Re: Dudas con Álgebra y Geometría Analítica

    Citar Mensaje original enviado por Raiden. Ver Mensaje

    Por lo tanto no es necesario aclarar que el vector nulo tiene que pertenencer porque se deduce de las otras propiedades.

    mira el 2do ejemplo que le puse. es condicion tanto suficiente como necesaria.
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  2. #32
    Avatar de Wayne
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    Re: Dudas con Álgebra y Geometría Analítica

    Siguiendo con el mismo tema, tratando de hacer demostraciones de que ciertos conjuntos son subespacios, se me complica un poco.

    Por ejemplo, si tengo el siguiente subespacio:

    S={(X1, X2, X3) € R3 / X1 = 2X3 ˄ X2 = X1 - 3X3}

    "€: pertenece"

    Según la respuesta, ES un subespacio. La propiedad de que pertenezca a un espacio, la de LCI, y la de LCE las puedo probar. Pero me queda probar que NO sea vacío. Si lo quiero hacer mediante la comprobación de que incluya el nulo, cómo se haría?
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  3. #33
    Avatar de Dr.Porrin
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    Re: Dudas con Álgebra y Geometría Analítica

    Haces x1,x2,x3 = 0,0,0 y te da por imagen el vector nulo, y decis que las condiciones se cumplen.

    Igual nunca me lo tomaron eso, los ejercicios te los daban ya sabiendo que eran subespacios...
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  4. #34
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    Re: Dudas con Álgebra y Geometría Analítica

    S={(X1, X2, X3) € R3 / X1 = 2X3 ˄ X2 = X1 - 3X3}

    fijate que el espacio vectorial donde se esta trabajando es formula, por lo cual estarias trabajando con cosas que podes ver y graficar. El enunciado que vos das se puede escribir de la forma:

    formula

    Es decir, que este S esta condicionado por dos planos que pasan por el origen (las 2 ecuaciones estan igualadas a 0). La interseccion de 2 planos en el espacio es una recta, que también va a pasar por el origen.
    Ahora tenes 2 formas de seguir:
    1) encontrar una parametrización de esa recta, lo cual haría mas visible el resultado.
    2) seguir trabajando con intersección de planos.

    como 2) por ahi es un poco tedioso, lo hago por 1).

    Busco las ecuaciones parametricas de la recta
    formula (1)
    formula (2)

    de (1) sacamos que formula

    y reemplazando (1) en (2) llegamos a que

    formula

    por lo cual podes escribir los formula de la recta como

    formula

    y si llamamos a z=t, con t en los reales, podemos escribir a S como:
    formula

    Ahora que escribimos a S de esta forma, es mas facil ver si es subespacio con las 3 condiciones suficientes:

    1) 0 está en S?
    tomo formula
    formula o sea, que el (0,0,0) está en S.

    2) tomando un formula y un u en S, hay que ver si formula está en S (el u vectorial, no se como hacerlo en latex)

    por lo cual: formula y como formula esta en los reales, formula esta en S.

    3) finalmente, hay que ver si, dado un u,v pertenecientes a S, u+v pertenece a S

    formula formula con s,t en los reales

    por lo cual

    formula y como (t+s) es tambien un numero real, u+v esta en S.

    como cumple las 3 condiciones suficientes, S es subespacio de formula.


    primera vez cn latex, el tutorial de aca esta re incompleto xD


    es cierto q no es muy probable qe te tomen si algo es subespacio o no... generalmente ya te dan cosas q son subespacios de entrada y te hacen buscar complementos ortogonales, extender bases, buscar subespacios que cumplan x cantidad de condiciones, etc.
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  5. #35
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    Re: Dudas con Álgebra y Geometría Analítica

    Citar Mensaje original enviado por Akuma Ver Mensaje
    La demostración de la existencia del nulo es necesaria:
    Si un subespacio te lo definen como a(3,2)+(3,3); no existe forma de que vos puedas generar el (0,0) de ese subespacio (para cualquier valor de a); sin embargo, si podes probrar que b[a(3,2)+(3,3)]; ya que (b,b)*(3a+3,2a+3) pertenece a ese S; y ue la suma de cualquier u y v; generados por ese S, también pertenece a ese.

    Este tipo de ejemplo se dio más arriba.
    Se está diciendo que la necesidad de que incluya al nulo es redundante, que se desprende de las otras dos condiciones.
    ¿Podés dar un caso que sea cerrado bajo las operaciones, que no sea vacio, y que no contenga al nulo?. Te lo respondo, no vas a poder.

    Es buena costumbre, y de hecho, así me lo enseñaron, cuando se va a verificar si un conjunto es subespacio, fijarse primero si está el nulo, porque es necesario que este y suele ser el mas fácil de encontrar, pero si se demuestra que está cerrado bajo la suma y el producto por un escalar, se demuestra que es subespacio.

    La demostración de que el nulo es único, si hubieran p y q nulos:

    (0 nulo <=> para todo v, v+0=0+v=v)

    p
    =< q es nulo >
    p + q
    =<p es nulo>
    q.

    (0 nulo <=> para todo v, v+0=0+v=v)

    La demostración de que 0*v es el vector nulo:
    v
    =<definición de espacio vectorial>
    1*v
    =
    (1+0)*v
    =<def de e.v>
    1*v+0*v
    =<def de e.v.>
    v + 0*v.
    Análogamente
    v = 0*v + v.
    Luego, para todo v = 0*v + v = v + 0*v => 0*v es nulo, y como el nulo es único, 0*v es el vector nulo. Que sea cerrado bajo el producto por un escalar, necesariamente implica que incluye al nulo.
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    Última edición por David Bowman : 11-07-10 el 11:58 PM
     

  6. #36
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    Re: Dudas con Álgebra y Geometría Analítica

    No pensaba que iba a ser tan rebuscada la demostración que hizo vyeranthel. Y con respecto lo de David B., le voy a tener que dar algunas leidas más. Gracias again. Seguiré estudiando...
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  7. #37
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    Re: Dudas con Álgebra y Geometría Analítica

    Citar Mensaje original enviado por Akuma Ver Mensaje
    La demostración de la existencia del nulo es necesaria:
    Si un subespacio te lo definen como a(3,2)+(3,3); no existe forma de que vos puedas generar el (0,0) de ese subespacio (para cualquier valor de a); sin embargo, si podes probrar que b[a(3,2)+(3,3)]; ya que (b,b)*(3a+3,2a+3) pertenece a ese S; y ue la suma de cualquier u y v; generados por ese S, también pertenece a ese.

    Este tipo de ejemplo se dio más arriba.
    Con "no es necesario aclarar que el vector nulo tiene que pertenencer porque se deduce de las otras propiedades" me referí a que no es una propiedad adicional independiente de las otras, si no que, al ser los escalares números enteros, el vector nulo va a estar incluído. En tu ejemplo para b=0 tenés el vector nulo... O sea, quise decir que el decir "al multiplicar un vector por cualquier escalar ese numero está incluído también en el subespacio" y "al sumar un vector por otro que también esté en el subespacio se consigue un vector que también está en el subespacio" ya estás diciendo que el 0 está incluído en el subespacio (siempre y cuando el conjunto no sea vacío). Que después te fijes si el (0,0) está incluído o no (usándolo como un contraejemplo) no quiere decir que sea una condición independiente de las demás. De hecho una vez que encontraste algún vector en el conjunto (por ejemplo el (3,3)), el hecho de que el (0,0) este incluído no te dice nada sobre si el conjunto es un subespacio o no, ya que no es una condición suficiente para probar esto, por el contrario la no inclusión del (0,0) te está demostrando que el conjunto no es un subespacio (ya que es una condición necesaria).
    Por si se sigue sin entender a que me referí es a que solo basta con demostrar las 3 condiciones mencionadas (las de composiciones y el hecho de que no sea vacío) para afirmar que el (0,0) está incluído (no confundir esto con el tipo de condición que es la inclusión del vector nulo cuando se quiere comprobar si un conjunto es o no un subespacio).

    Como bien dice David Bowman, la inclusión del (0,0) es redundante cuando ya se saben las demás condiciones.
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    Citar Mensaje original enviado por Scholes. Ver Mensaje
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  8. #38
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    Re: Dudas con Álgebra y Geometría Analítica

    Citar Mensaje original enviado por vyeranthel Ver Mensaje
    mira el 2do ejemplo que le puse. es condicion tanto suficiente como necesaria.
    Con "no es necesario" no me referí a que no es condición necesaria, si no a que la veracidad de la afirmación "el vector nulo está incluído" se puede deducir de las demás "propiedades".
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  9. #39
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    Re: Dudas con Álgebra y Geometría Analítica

    Citar Mensaje original enviado por Wayne Ver Mensaje
    No pensaba que iba a ser tan rebuscada la demostración que hizo vyeranthel. Y con respecto lo de David B., le voy a tener que dar algunas leidas más. Gracias again. Seguiré estudiando...
    no es rebuscada, fijate solamente qe te dan las ecuaciones implicitas de una recta. pasas a la parametrica y te fijas si es subespacio. parece largo x ahi pq lo detalle bien
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  10. #40
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    Re: Dudas con Álgebra y Geometría Analítica

    Citar Mensaje original enviado por vyeranthel Ver Mensaje
    no es rebuscada, fijate solamente qe te dan las ecuaciones implicitas de una recta. pasas a la parametrica y te fijas si es subespacio. parece largo x ahi pq lo detalle bien
    Y hacer lo que hizo Porrín, es también una demostración válida de que el conjunto incluye al nulo?

    Citar Mensaje original enviado por Dr.Porrin Ver Mensaje
    Haces x1,x2,x3 = 0,0,0 y te da por imagen el vector nulo, y decis que las condiciones se cumplen.

    Igual nunca me lo tomaron eso, los ejercicios te los daban ya sabiendo que eran subespacios...
    Es decir, tomar X1=0 ; X2 = 0 ; X3 = 0 ?
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  11. #41
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    Re: Dudas con Álgebra y Geometría Analítica

    Estoy llegando al final del temario (me quedan solo 3 temitas) y me aparecen todas las dudas juntas, y los apuntes que tengo de las últimas clases están incompletos.

    Con respecto a Sistemas de Generadores, tengo algunos conjuntos de vectores y lo que generan cada uno, pero no me queda claro por qué.

    A={(1, 2, 3),(0,1,1)}
    Genera un plano

    B={(1, -1, -2),(-2, 2, 4)}
    Genera una recta


    Ambos son conjuntos de 2 vectores con 3 componentes cada uno. La única diferencia que noto entre ellos es que el primero es L.I. y el segundo L.D. El tema es que no se como se analiza cada caso para ver qué es lo que generan.
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  12. #42
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    Re: Dudas con Álgebra y Geometría Analítica

    Citar Mensaje original enviado por Wayne Ver Mensaje
    Estoy llegando al final del temario (me quedan solo 3 temitas) y me aparecen todas las dudas juntas, y los apuntes que tengo de las últimas clases están incompletos.

    Con respecto a Sistemas de Generadores, tengo algunos conjuntos de vectores y lo que generan cada uno, pero no me queda claro por qué.

    A={(1, 2, 3),(0,1,1)}
    Genera un plano

    B={(1, -1, -2),(-2, 2, 4)}
    Genera una recta


    Ambos son conjuntos de 2 vectores con 3 componentes cada uno. La única diferencia que noto entre ellos es que el primero es L.I. y el segundo L.D. El tema es que no se como se analiza cada caso para ver qué es lo que generan.
    A ver, voy a tratar de ser más pedagójico:

    cuando un subespacio esta formado por 1 vector; eso significa que tenes 1 solo grado de libertad.
    Si pensamos en R3, suponemos el vector u = (1,0,0) [imaginemos que usamos coords cartesianas(x,y,z).
    Si denominamos a S={(1,0,0)}; eso significa que lo unico que genera nuestro subespacio son vectores en la dirección (1,0,0) (o sea k*(1,0,0)); eso significa que nos podríamos mover solo sobre el eje X. (o sea, el 1,0,0; el 2,0,0, el -3,0,0)

    Ahora, si tu subespacio esta formado por 2 vectores Independientes ej:

    S'={(1,0,0) ; (0,1,0)}; entonces podrias desplazarte por el plano XY; o sea 2 vectores ya forman una superficie (gralmente se dice plano, pero no necesariamente es un plano, debe ser una cuestion coloquial).

    Analogamente cada vector que agregas agrega una dimensión; dsp de 3 vectores es dificil explicar con ejemplos "reales"; o sea, si tenemos vectores de 4 coordenadas podríamos decir que las primeras 3 son espaciales (alto, longitud y profundidad) y la cuarta sería el tiempo.

    Obviamente todo lo que te dije sirve para vectores Linealmente independientes.

    El espacio U={(2,0,0);(4,0,0)} genera lo mismo que el S que mencione antes [S={(1,0,0)}]
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    Citar Mensaje original enviado por Sir Auron
    Posta son un callejon evolutivo sin salida. Se van a quejar hasta la extincion.
    Citar Mensaje original enviado por G-Dogg
    Lo que vos creas no importa, lo que importa es lo que puedas demostrar.
    Citar Mensaje original enviado por Tiphareth
    ... sí, le entro a todo.
     

  13. #43
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    Re: Dudas con Álgebra y Geometría Analítica

    Gracias Akuma, te pasaste. Si tan solo los libros estuviesen escritos en forma tan pedagógica como tu explicación...

    Entonces, basándome en esto:

    Citar Mensaje original enviado por Akuma
    El espacio U={(2,0,0);(4,0,0)} genera lo mismo que el S que mencione antes [S={(1,0,0)}]
    Podría decir que (2,0,0) y (4,0,0) son linealmente dependientes, por lo tanto puedo eliminar tranquilamente uno de ellos que el resultado será el mismo?

    Entonces, lo mismo sucedería con el ejemplo que puse arriba:
    B={(1, -1, -2),(-2, 2, 4)}

    Al ser linealmente dependientes, elimino uno y, como me queda un solo vector, lo único que se podría generar sería una recta?
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  14. #44
    never back down Avatar de vyeranthel
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    Re: Dudas con Álgebra y Geometría Analítica

    Citar Mensaje original enviado por Akuma Ver Mensaje
    A ver, voy a tratar de ser más pedagójico:

    cuando un subespacio esta formado por 1 vector; eso significa que tenes 1 solo grado de libertad.
    Si pensamos en R3, suponemos el vector u = (1,0,0) [imaginemos que usamos coords cartesianas(x,y,z).
    Si denominamos a S={(1,0,0)}; eso significa que lo unico que genera nuestro subespacio son vectores en la dirección (1,0,0) (o sea k*(1,0,0)); eso significa que nos podríamos mover solo sobre el eje X. (o sea, el 1,0,0; el 2,0,0, el -3,0,0)

    Ahora, si tu subespacio esta formado por 2 vectores Independientes ej:

    S'={(1,0,0) ; (0,1,0)}; entonces podrias desplazarte por el plano XY; o sea 2 vectores ya forman una superficie (gralmente se dice plano, pero no necesariamente es un plano, debe ser una cuestion coloquial).

    Analogamente cada vector que agregas agrega una dimensión; dsp de 3 vectores es dificil explicar con ejemplos "reales"; o sea, si tenemos vectores de 4 coordenadas podríamos decir que las primeras 3 son espaciales (alto, longitud y profundidad) y la cuarta sería el tiempo.

    Obviamente todo lo que te dije sirve para vectores Linealmente independientes.

    El espacio U={(2,0,0);(4,0,0)} genera lo mismo que el S que mencione antes [S={(1,0,0)}]
    Linda explicacion. lo unico q cambio es que U={u,v} es un conjunto base del subespacio. La sintaxis de subespacio generado por u y v es S= <u,v>.



    Wayne, para q te des cuenta lo que te pide la consigna, acordate que siempre los vectores de un subespacio los podes escribir como combinacion lineal. en el caso de la base A={(1, 2, 3),(0,1,1)} podes escribirlo como

    t(1,2,3) + s(0,1,1) (son LI), que al toque te das cuenta que es la parametrizacion de un plano en el espacio.

    En el caso de B={(1,1,1),(2,2,2)}, como son LD, lo podes escribir como B={(1,1,1)}, y luego la combinacion lineal sera:
    t(1,1,1) lo que claramente es la parametrizacion de 1 recta en el espacio

    Y agregando a lo que dijo Akuma..
    que pasaria si B fuese B= {(0,1,0), (1,0,0), (0,0,1}? que genera? generaria todo R^3. es decir, que a todos los puntos del espacio los podes escribir como combinacion lineal de esos 3 vectores (que obviamente son LI por ser base)

    En el caso que te den un B'={(0,3,0),(2,1,2),(2,4,2)} no se cumpliria. ya que los vectores son LD, y podes escribir a 1 como combinacion lineal de los demas, o sea:

    (2,4,2) = 1(0,3,0)+1(2,1,2)

    Es decir, que el subespacio generado por (0,3,0),(2,1,2),(2,4,2) es el mismo que el generado por (0,3,0),(2,1,2). Por lo tanto, el subespacio es un plano (se puede escribir de la forma t(0,3,0)+s(2,1,2) ).

    A partir de esto, si te dieran por ejemplo el conjunto B= {(1,0,0),(0,2,-3),(0,1,9),(-1,3,4)} Podes deducir sin hacer cuentas que por lo menos uno de esos vectores es linealmente dependiente, ya que para generar todo R^3 necesitas una base de solo 3 vectores linealmente independientes (aunqe de todas formas, esos 4 vectores tambien generan todo R^3). Y te digo que hay 1 LD o mas de 1, porque puede ser que el conjunto no sea base de R^3, sino de un subespacio de R^3.
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  15. #45
    Avatar de Wayne
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    Re: Dudas con Álgebra y Geometría Analítica

    Gracias gente. Veo que la tienen muy clara, y sus explicaciones voy reforzando todos los temas. Creo que ahora entiendo el tema de generadores. (y)
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