[Dudas]P. de Taylor e Integrales.

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  1. #1
    Avatar de Jons Jacob
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    [Dudas]P. de Taylor e Integrales.

    Gente, abro un thread para ir poniendo algunas dudas que me vayan surgiendo y no crear miles de threads al pedo. Estaba haciendo un ejercicio de Polinomio de Taylor que dice:

    Sea f(x)=x.ln(x). Hallar el polinomio de Taylor de orden 3 en x=1. Estimar el error que se comete al calcularlo:
    a)f(1,2) por P(1,2) (supongo que debe ser 12/10)
    b)f(0,8) por P(0,8) (8/10)

    Escribir la expresión del resto en cada caso.


    Hice todas las derivadas y armé el polinomio que me quedó:
    P(x)= (x-1)+(1/2)(x-1)^2-(1/6)(x-1)^3.

    ¿Cómo hago para estimar el error en 1,2 y 0,8? ¿Reemplazo la x por esos valores?

    La fórmula del resto me queda:

    R(x)= (2/(c^3+4!))(x-1)^4. Pero no tengo idea como seguir.
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  3. #2
    Avatar de Dr.Porrin
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    Re: [Dudas]P. de Taylor e Integrales.

    Para estimar el error usás el resto de Lagrange.

    Lo que recuerdo es que C era el valor tal que te aseguraba la peor condición. Es decir, si C está en el denominador, el que tenés que tomar es el valor más chico ya que es el que hace más grande la cota, y te asegura que siempre el error va a estar siempre en el rango.

    Lo que no me acuerdo era cuáles eran los límites de C, y no encuentro mis cuadernos de AM1. Cómo se calculaba?

    edit: por si no tenés claro como es que un polinomio de Taylor se "aproxima" a una función



    En blanco es la función, y en rojo está el polinomio de grado 3 que se aproxima a la función en un entorno de x=1.
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  4. #3
    Avatar de Jons Jacob
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    Re: [Dudas]P. de Taylor e Integrales.

    Bueno, les cuento como lo resolví.

    El resto de lagrange me queda: (2/(c^3*4!))(x-1)^4. Ahora, 1,2 = 1/5 tengo (2/(c^3*4!))(1/5)^4 -> R(x)= 2/(5^4*c^3*4!). Acotando c me queda que 1<c<6/5 <-> 1>1/c>5/6 <-> 1>1/c^3 > (5/6)^3.

    Entonces 2/(c^3*4!*5^4) < 2/(4!*5^4*1^3) = 1/7500 (=0,000133333..)

    Ahora, f(1,2)= 0,218785868 y P(1,2)= 0,218666667 -> f(1,2)-P(1,2)=0,000119201
    que es menor a 1/7500.

    Igual, hay algo que no entiendo. Cuando yo acoto C, ¿cómo sé cuál tengo que elejir?
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  5. #4
    Avatar de El Froz
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    Re: [Dudas]P. de Taylor e Integrales.

    C no lo 'fijás', porque por definición es un término que está en el intervalo abierto de extremos "1" (el punto fijo de este caso) y el valor de x, pero no se sabe nada más acerca de él.

    Es más, a priori, creo que la máxima información que se tiene de él es que o 'no da problemas' o 'rompe mucho las pelotas'.
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  6. #5
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    Re: [Dudas]P. de Taylor e Integrales.

    Citar Mensaje original enviado por Jons Jacob Ver Mensaje
    Igual, hay algo que no entiendo. Cuando yo acoto C, ¿cómo sé cuál tengo que elejir?
    Es un ejemplo muy básico, pero capaz no tenés ni idea de lo que tenés que hacer. Ponele que te queda que el error es e^c, donde c está en el intervalo (2,4). En ese intervalo e^c es siempre menor a e^4, porque la exponencial es creciente y positiva, entonces, no importa cuál sea el c (y tu verdadero error, que por definición desconocés), ese error va a ser menor a e^4. Sobre cómo elegir el c, depende de cada caso en particular, de las funciones y de los intervalos, pero con práctica sale.
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  7. #6
    Avatar de Jons Jacob
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    Re: [Dudas]P. de Taylor e Integrales.

    Hoy me entregaron el parcial, me saqué un 7. Esperaba más nota, me cagó que fueron muy estrictos al corregir. En el de optimización me pusieron R- porque no mostré que era máximo, ese lo acepto, pero en otro ejercicio me pusieron B-- porque puse que la A.V me lo daba el dominio de f(x) y me puso "no, te lo da porque lím x->0+ f(x)=+inf" Un error muy bobo y me descontaron mucho para mi. 2 B, 1 B-- y un R-.

    Ahora la duda. El ejercicio dice así:

    Dada f(x)=ax^2+1+(bx+1)^(4/3). Hallar a,b reales de tal forma que P(x)=2+4x+6x^2 sea el Polinomio de Taylor de orden 2 en x=0 de f(x). Con los valores de a y b hallados estimar acotando el resto, el error que se comete al aproximar f(0,1) por P(x).

    Lo primero que hice fue derivar.

    f'(x)=2ax+4b/3(bx+1)^(1/3) -->f'(0)= 4 --> 4b/3=4 --> b=3

    f''(x)=2a+4(3x+1)^(-2/3) --->f''(0)=6 --> 2a+4=6 --> a=1 (acá me hice lio, porque no puse 2!. Asíque es probable que esté mal).

    Ahora busco el resto:

    f'''(x)= -8(3x+1)^(-5/3)

    -> R(x) = [-8(3c+1)^(-5/3)]/(3!*10^3)

    --> 0>c>1/10 --> 0>3c>3/10 --> 1>3c+1 > 13/10 --> 1> (3c+1)^(-5/3) > (13/10)^(-5/3).

    Dudas, acá ¿es necesario multiplicar por -8? ¿Tendría que haber escrito (3c+1)^(-5/3) como 1/(3c+1)^(5/3)? El R(x) es en realidad es módulo de R(x) ¿eso qué me modifica?
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    Última edición por Jons Jacob : 09-06-10 el 11:43 PM
    El arte de hacer matemáticas consiste en encontrar ese caso especial que contiene todos los gérmenes de la generalidad.
     

  8. #7
    Avatar de Jons Jacob
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    Re: [Dudas]P. de Taylor e Integrales.

    Una pregunta. El enunciado dice:

    Hallar una función f: R->R con derivada continua que satisfaga:

    f'(x). e^{f(x)}.e^{-(x^{2}+6)}- 2x(x^{2}+6)=0 ; f(0)=6

    Lo que hice. Agrupé los términos con f:

    f'(x). e^{f(x)} = 2x(x^{2}+6).e^{x^{2}+6}

    Integro y llamo:

    u=f(x) -> du=f'(x)dx
    v=x^{2}+6 ->dv=2xdx

    Me queda:

    int {e^{u}du} = int {v.e^{v}dv}

    ¿Y ahora cómo sigo? La pregunta debe ser muy boba, pero se me estuvo complicando ir estas últimas clases y la verdad es que vengo perdidísimo.

    Gracias
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