[Ayuda] 2 Ejercicios de Volumen

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  1. #1
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    [Ayuda] 2 Ejercicios de Volumen

    Hola gente, como va? ando con un problemita, hay dos ejercicios de volumen que no me salen ya que no puedo calcular de donde hacia donde va RO, basicamente lo que hago es reemplazar X=ROcos(tita) y=ROsen(tita) z=Z, cada uno varia entre parametros, tita y z los puedo sacar pero RO no se como, despues hago una integral triple. Les dejo las imagenes, en la hoja amarilla tengo 2 ejercicios que hice yo, en el primero RO creo q va de 0 a 1 pero no estoy seguro, y en el segundo ni idea, en la hoja blanca es un parcial de años anteriores de un compañero, y el saca que ro va de 0 a raiz de 3, (creo q el reemplaza 1 en z^2 y da raiz de 3, reemplazando x e y por lo q puse arriba), pero con los ejercicos de la hoja en amarillo no me sale de ese modo. Espero que puedan ayudarme. Muchas gracias !
    Dejo los links tambien por si son muy pesadas las imgs
    http://yfrog.com/2tscan0013aj
    http://yfrog.com/giscan0014cj

    URL=http://img594.imageshack.us/i/scan0014c.jpg/][/URL]

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  3. #2
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    Re: [Ayuda] 2 Ejercicios de Volumen

    ¿Sabes lo que es proyectar sobre los planos coordinados (XY, YZ, XZ)?

    El volúmen que tenes que hallar es el encerrado por el cacho de esfera y el plano.

    O sea, que "por encima" encierra la superficie curva; y por debajo la superficie plana:

    Te dejo un gráfico donde se ve claro; si no te sale, chifla y te ayudo un poco más.


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  4. #3
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    Re: [Ayuda] 2 Ejercicios de Volumen

    si, hacer 0 la otra variable no ? Es la unica manera de sacar RO ?
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    Última edición por lxsplk : 01-06-10 el 04:41 PM
     

  5. #4
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    Re: [Ayuda] 2 Ejercicios de Volumen

    Si entiendo que lo que es RO pero no entiendo como sacarlo :S
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  6. #5
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    Re: [Ayuda] 2 Ejercicios de Volumen

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    Si entiendo que lo que es RO pero no entiendo como sacarlo :S
    No, no entendes lo que es Ro; sino no tendrías este tipo de dudas.
    Poryectar no es hacer 0 la otra variable. Es buscar la "imagen" que dejaría la intersección en c/u de los planos coordinados.
    Proyectar el volumen sobre los planos coordinados, te permite ver más fácil los límites de integración.


    EDIT:Fijate que en los ejercicios de las hojas amarillas; los volumenes siempre "incluían" al cero en el volumen encerrado, es hace que el Ro "barra" desde el 0 hasta la superficie curva que esta "por encima".


    En este caso la proyección se hace a Z=1; (sqrt = square root = raiz cuadrada)

    -> x^2 + y^2 + 1^2 = 4
    -> x^2 + y^2 = 3
    -> x^2 + y^2 = Ro^2

    sqrt(3) < Ro < 2 (sqrt(4))

    tita o fi (como lo llames) va de 0 a 2*pi
    0< fi < 2-pi

    1< Z < sqrt(4-x^2 + y^2) [esto lo despejas de la implicita del volumen]
    1 < Z < sqrt(4 - ro) [haciendo cambio coords: x=ro cos(fi); y= ro sen(fi)]

    Sin olvidarte del Jacobiano que es: Ro*d(fi)d(ro)d(z)

    0< fi < 2-pi
    sqrt(3) < Ro < 2 (sqrt(4))
    1 < Z < sqrt(4 - ro)
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  7. #6
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    Re: [Ayuda] 2 Ejercicios de Volumen

    osae q RO va desde el 0 hsata el maximo que "barreria" que seria donde intersecan ? en estos casos

    Igual sigo sin entender una cosa, en el primer ejercicio de la hoja amarilla, x^2+y^2+z^2<2 y z<x^2+y^2; RO=x^2+y^2 -------> RO^2+RO^4<2 ?? puede ser
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  8. #7
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    Re: [Ayuda] 2 Ejercicios de Volumen

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    osae q RO va desde el 0 hsata el maximo que "barreria" que seria donde intersecan ? en estos casos

    Igual sigo sin entender una cosa, en el primer ejercicio de la hoja amarilla, x^2+y^2+z^2<2 y z<x^2+y^2; RO=x^2+y^2 -------> RO^2+RO^4<2 ?? puede ser
    NO, y además estas haciendo mal las cuentas.

    1: Ro^2 = x^2 + y^2.
    x: ro*cos(fis); y: ro*sen(fi)

    x^2 + y^2 = [ro*cos(fi)]^2 + [ro*sen(fi)]^2
    [ro*cos(fi)]^2 + [ro*sen(fi)]^2 = [ro^2]*[cos^2(fi)] + [ro^2]*[sen^2(fi)]
    [ro^2]*[cos^2(fi)] + [ro^2]*[sen^2(fi)] = [ro^2] * [cos^2(fi) + sen^2(fi)]

    Por identidad trigonométrica: cos^2 + sen^2 =1

    [ro^2] * [cos^2(fi) + sen^2(fi)] = ro^2 * [1] = Ro^2

    Entonces x^2 +y^2 = Ro^2.


    2. Fijate que en el volumen del primer ejercicio de la hoja amarilla:
    el radio crece hasta que llegas a un determinado Z (intersección de volumenes) y después empieza a disminuir.
    Lo que escribiste es una guasada....
    Además de que hiciste mal la integral; buscate una tabal de integrales, busca la integral de (2-x^2)^1/2 (raiz de: dos menos equis al cuadrado)
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  9. #8
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    Re: [Ayuda] 2 Ejercicios de Volumen

    en algebra me enseñaron que un buen metodo para buscar curvas interseccion de 2 superficies (este metodo es para q te acostumbres a hacer los ejercicios, cn la practica te va a salir re automatico) es buscar una 3era superficie (aca te sirve un plano) que contenga a esa curva. en el caso del 1er ejercicio de la hoja amarilla, ese plano seria z=1 (esto sale muy facil, reemplazando la ecuacion del paraboloide en la de la esfera y buscando z). ese z representaria un plano que contiene a la curva interseccion, lo expresas como

    x^2+y^2=z
    z=1

    o

    x^2+y^2+z^2 = 2
    z=1

    se ve que esos 2 sistemas son 2 maneras diferentes de escribir las ecuaciones implicitas de una circunferencia de radio 1 en el espacio?
    bueno, a partir de esto ya tenes tu ro, que claramente va de 0 a 1. fi va a ir de 0 a 2pi y z va a ir del paraboloide a la esfera, es decir de ro^2 a sqrt(2-ro^2). fijate que tenes errores de cuentas en la integracion que hiciste, el -1/2 de la sustitucion va solo para el primer termino de la integral, no para ambos. un volumen no puede darte negativo.. lo bueno de analisis 2 es q podes usar la tabla de integrales q te simplifica la vida, aunq es una sustitucion simple

    y el 2do ejercicio encaraste mal de entrada que la 2da superficie era un paraboloide, cuando claramente es la parte superior de un cono. el volumen que te pide seria "la bocha de helado y el conito". en este caso yo no usaria cilindricas, usaria esfericas. pero en el caso de que quieras complicarte la vida con cilindricas, se hace de la misma manera que el ejercicio anterior.

    hace bocha q no veo esta materia pero creo q no esta mal la explicacion
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    Última edición por vyeranthel : 02-06-10 el 10:37 AM
     

  10. #9
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    Re: [Ayuda] 2 Ejercicios de Volumen

    Citar Mensaje original enviado por vyeranthel Ver Mensaje
    en algebra me enseñaron que un buen metodo para buscar curvas interseccion de 2 superficies (este metodo es para q te acostumbres a hacer los ejercicios, cn la practica te va a salir re automatico) es buscar una 3era superficie (aca te sirve un plano) que contenga a esa curva. en el caso del 1er ejercicio de la hoja amarilla, ese plano seria z=1 (esto sale muy facil, reemplazando la ecuacion del paraboloide en la de la esfera y buscando z). ese z representaria un plano que contiene a la curva interseccion, lo expresas como

    x^2+y^2=z
    z=1

    o

    x^2+y^2+z^2 = 2
    z=1

    se ve que esos 2 sistemas son 2 maneras diferentes de escribir las ecuaciones implicitas de una circunferencia de radio 1 en el espacio?
    bueno, a partir de esto ya tenes tu ro, que claramente va de 0 a 1. fi va a ir de 0 a 2pi y z va a ir del paraboloide a la esfera, es decir de ro^2 a sqrt(2-ro^2). fijate que tenes errores de cuentas en la integracion que hiciste, el -1/2 de la sustitucion va solo para el primer termino de la integral, no para ambos. un volumen no puede darte negativo.. lo bueno de analisis 2 es q podes usar la tabla de integrales q te simplifica la vida, aunq es una sustitucion simple

    y el 2do ejercicio encaraste mal de entrada que la 2da superficie era un paraboloide, cuando claramente es la parte superior de un cono. el volumen que te pide seria "la bocha de helado y el conito". en este caso yo no usaria cilindricas, usaria esfericas. pero en el caso de que quieras complicarte la vida con cilindricas, se hace de la misma manera que el ejercicio anterior.

    hace bocha q no veo esta materia pero creo q no esta mal la explicacion
    Esta bien la explicación, salvo la integral, que tampoco sale por sustitución.

    Buscate una tabla de integrales, y bajate el "winplot" para ver las gráficas si no las sabes.
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  11. #10
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    Re: [Ayuda] 2 Ejercicios de Volumen

    Citar Mensaje original enviado por Akuma Ver Mensaje
    Esta bien la explicación, salvo la integral, que tampoco sale por sustitución.

    Buscate una tabla de integrales, y bajate el "winplot" para ver las gráficas si no las sabes.
    como que no es una sustitucion ?

    cuando integras respecto de z te queda int(0 a 2pi) int(0 a1) fi*(sqrt(2-fi^2) - fi^2) dfi dtita. distribuis el jacobiano, el 2do termino sale directa la integral, el 1er termino que es fi*(sqrt(2-fi^2) haces

    u=2-fi^2
    du = -2fi dfi
    -du/2 = fidfi

    y en ese termino de la integral te queda:

    (-1/2)*sqrt(u) du , que sale directa...

    x mas que si sea una sustitucion es analisis II, te dejan usar tabla de integrales, usas la tabla y listo, evitas errores.
    y como dice akuma siempre es bueno q hagas el grafico del solido del que vas a sacar el volumen, aunque no sea necesario. en esos casos es facil y no hace falta hacerlo porque son volumenes triviales, pero cuando tenes algo mas rebuscado, ayuda.

    edit: y aprendete bien las cuadricas xD
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    Última edición por vyeranthel : 05-06-10 el 12:53 PM
     

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