Salvar indeterminación (0/0)

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  1. #1
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    Salvar indeterminación (0/0)

    No logro salvar la indeterminación en el límite que adjunté. Probé todos los casos posibles que se me ocurrían pero no logro hacerlo. Tienen idea cómo hacerlo?


    PD: El resultado es 1/12, el tema es que no se cómo llegar al mismo.
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  3. #2
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    Re: Salvar indeterminación (0/0)

    Hace un cambio de variable.

    t=x^(1/3)

    De esa forma te queda

    lim t->2 (t-2) / (t^3-8)

    Factoriza t^3-8 = (t-2)(t^2 + 2t + 4)

    Reemplaza y te queda 1/12.

    Saludos.
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  4. #3
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    Re: Salvar indeterminación (0/0)

    Me parece que tenes que aplicar L'Hospital porque tenes una indeterminación cero sobre cero , entonces es lo mismo que aplicar el limite de la derivada de lo de arriba dividido la derivada de lo de abajo. Lo de arriba a la raiz cubica la podes expresar como X^1/3 , derivando te queda 1/3 . x^-2/3 y lo de abajo te queda 1 , entonces lo unico que queda es remplazar el 8 en la derivada de arriba y te queda:

    1/3 . 8^-2/3 = 1/12
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    Me imagino los operarios de la maquina de tapitas ganando como un ingeniero nuclear.
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    Estar sobrio en un boliche y ver la gente bailar, es como ver a una manada de monos saltando en donde nada tiene sentido. Te clavas unos fernet y ya sos un mono mas cagandote de risa....
     

  5. #4
    Avatar de Wayne
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    Re: Salvar indeterminación (0/0)

    Citar Mensaje original enviado por Maezel Ver Mensaje
    Hace un cambio de variable.

    t=x^(1/3)

    De esa forma te queda

    lim t->2 (t-2) / (t^3-8)

    Factoriza t^3-8 = (t-2)(t^2 + 2t + 4)

    Reemplaza y te queda 1/12.

    Saludos.
    Gracias Maezel! De 10.



    Citar Mensaje original enviado por LibertiNе Ver Mensaje
    Me parece que tenes que aplicar L'Hospital porque tenes una indeterminación cero sobre cero , entonces es lo mismo que aplicar el limite de la derivada de lo de arriba dividido la derivada de lo de abajo. Lo de arriba a la raiz cubica la podes expresar como X^1/3 , derivando te queda 1/3 . x^-2/3 y lo de abajo te queda 1 , entonces lo unico que queda es remplazar el 8 en la derivada de arriba y te queda:

    1/3 . 8^-2/3 = 1/12

    AH! Me falto aclarar que necesito resolverlo sin usar L'Hospital, derivadas y eso porque no lo vimos. :S Gracias por la ayuda, de todos modos.
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  6. #5
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    Re: Salvar indeterminación (0/0)

    Citar Mensaje original enviado por Wayne Ver Mensaje
    AH! Me falto aclarar que necesito resolverlo sin usar L'Hospital, derivadas y eso porque no lo vimos. :S Gracias por la ayuda, de todos modos.
    Entonces creería que el cambio de variable como dijo Maezel es la única forma de hacerlo.
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    Citar Mensaje original enviado por Sir Auron Ver Mensaje
    Me imagino los operarios de la maquina de tapitas ganando como un ingeniero nuclear.
    Citar Mensaje original enviado por Wild Pampero Ver Mensaje
    Estar sobrio en un boliche y ver la gente bailar, es como ver a una manada de monos saltando en donde nada tiene sentido. Te clavas unos fernet y ya sos un mono mas cagandote de risa....
     

  7. #6
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    Re: Salvar indeterminación (0/0)

    Nop, hay otra forma -digamos que el cambio de variable en un calculo de limite no es, en general, una buena idea (hay ejemplos no muy complicados que lo demuestran)-.

    Tengamos en cuenta la identidad:

    Ahora, consideremos que x = a^3, y que 8 = b^3, entonces reemplazamos en el denominador y queda esto:

    f(x) =

    Función cuyo límite en x->8 esta regalado.


    PD: No sé cómo se maneja wolfram con las imagenes, espero que duren lo suficiente.

    PD2: También creo que se puede hacer aplicando Ruffini.
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    Última edición por El Froz : 21-05-10 el 10:32 AM
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  8. #7
    Avatar de Dr.Porrin
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    Re: Salvar indeterminación (0/0)

    No se ven las imágenes.

    Por qué no es una buena idea el cambio de variable?
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  9. #8
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    Re: Salvar indeterminación (0/0)

    Porque el cambio de variable es, en esencia, una composición de funciones. Pero el que ambas tengan límite (cada una por su cuenta, y en los entornos adecuados) no te garantiza la existencia de límite en su composición

    Ejemplo:

    Sea f:[0,1]--->[0,1], con f(x) = x si x es racional, y 0 si no lo es.

    Por el criterio de monotonia (del sandwich), existe limite en x->0, y es 0.


    Sea g:[0,1]--->[0,1], con g(x) = 1 si x = 0, y x si x!=0.

    Por definición de limite, se verifica que el limite en x->0 es 0.


    Ahora, la composicion (g o f) queda:

    g(f(x)) = 1 si x pertenece a (]0,1]\Q)U{0}
    ..............x si x pertenece a ]0,1] y a Q (o sea, la interseccion)

    Ahora, limite en x->0 ?
    Aplicando la caracterizacion por sucesiones: Sea Xn = 1/n (con limite = 0), y Yn = pi/(4n) (con limite = 0).
    Si hacemos el limite de n->+inf de g(f(Xn)) = Xn (por ser racional), y su limite es 0.
    Si hacemos el limite de n->+inf de g(f(Yn)) = 1 (por ser irracional), y su limite es 1.

    Los limites no coinciden, por tanto lim x->0 de (g o f) no existe.


    Por eso digo que, en general, no es buena idea, porque es algo que puede fallar.
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    Última edición por El Froz : 22-05-10 el 09:36 AM
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  10. #9
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    Re: Salvar indeterminación (0/0)

    Gracias por las explicaciones, Froz.
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  11. #10
    Avatar de Dr.Porrin
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    Re: Salvar indeterminación (0/0)

    Veo, igual ya son funciones muy particulares, al menos en AM1 el cambio de variable no trae dramas porque generalmente los ejercicios están pensados para ser resueltos así (antes de que se vea L'Hopital).

    Que cagada que no ande LaTeX, estuve media hora tratando de entender la composición XD
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  12. #11
    Avatar de El Froz
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    Re: Salvar indeterminación (0/0)

    A mi me las mostraron nomás para que no tomemos decisiones demasiado a la ligera, que también pasa mucho con L'Hôpital, pero los ejemplos para esto son bastante mas complicados (ponele, que el cociente de derivada no tenga limite, pero sí el cociente original, o lo contrario, que la derivada si lo tenga, pero no la original).

    Ahora, la verdad es que no sé que condiciones se tienen que cumplir para asegurar la existencia de límite aunque se haga cambio de variable.
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    Última edición por El Froz : 23-05-10 el 05:16 PM
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