Problema con Funcion y su respuesta

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  1. #1
    be free Avatar de necrotick
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    Problema con Funcion y su respuesta

    bueno gente tengo un problema con una ecuacion tan simple que me tomaron en un examen pero no la puedo sacar ya que quiero usar teorema de bolzano o del valor medio pero para esos teoremas la funcion tiene que estar acotada pero aca no se como agarrar :S

    les dejo la funcion y el enunciado:

    formula
    demuestre que la (maldita) funcion con K cualquier constate, solo puede tener 1 raiz real.

    bueno gente ustedes deben ser mejores y por eso vana poner "" ^x o ....bueno la cuestion es que no puedo hacerlo...intenete con el de el val medio, desp intente por bolzano pero como la funcion no ta acotada no se donde agarrar! :S

    bueno espero sus answers!

    gracias gente!
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  3. #2
    Avatar de RoHS_Compliant
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    Re: Problema con Funcion y su respuesta

    Se me ocurre que derivando la funcion e igualando a 0, te queda
    formula la cual no tiene raices reales, ergo, la funcion es estrictamente creciente (ya que la derivada no vale 0 en ningun punto, no hay puntos criticos y menos aun cambios de concavidad), podes tomar un f(x) < 0 cualquiera y un f(x) > 0 cualquiera, y al ser la funcion continua (en todo su dominio, y en particular entre estos dos puntos), solo existe una raiz.
    Esa seria la idea del ejercicio, habria que pulir mas la respuesta enunciando los teoremas necesarios, pero creo que por ahi viene la mano.
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  4. #3
    be free Avatar de necrotick
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    Re: Problema con Funcion y su respuesta

    claro yo lo primero que pense fue eso!...pero se me olvido la prueva de crecimiento y decrecimiento! eso ayudo bastante!! ^^
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  5. #4
    Avatar de RoHS_Compliant
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    Re: Problema con Funcion y su respuesta

    Bueno, supongo que tema resuelto entonces.
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  6. #5
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    Re: Problema con Funcion y su respuesta

    Podrías aplicar el teorema de Bolzano si definis una segunda función con el dominio restringido (adecuadamente) y el mismo criterio, pero me da que es complicar las cosas.


    Pero bueno, más sencillo es agregar esto a la respuesta de RoHS_Compliant.
    1) Es un polinomio, ergo, es una función continua en todo su dominio.
    2) El coeficiente director multiplica a la variable elevada a un numero impar, ergo, el limite en -inf, es -inf, y en +inf es +inf.

    Por 1) y por 2) tenés que minimo corta una vez al eje 0X, hay mínimo una raiz.

    Como es estrictamente monótona, la función es inyectiva, y si existieran f(x) = f(x') = 0, por ser inyectiva tenés que x = x' (es decir, es única la raiz).
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