[Ayuda]Teorema de Lagrange y Rolle

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  1. #1
    PSN: Alkepo Avatar de lxsplk
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    [Ayuda]Teorema de Lagrange y Rolle

    Hola gente, otra vez yo aca, el tema es el siguiente, no logro entender el Teorema de Lagrange que dice que (F(b)-F(a))/(b-a)=F'(c) y mucho menos la demostracion. Y tambien no entiendo muy bien la demostracion del Teorema de Rolle que dice "Si F(a)=F(b) entonces existe x° e(a,b)/F'(c)=0" el teorema lo entiendo, lo que no entiendo es xq se demuestra con Weierstrass si lo unico que dice es que " F continua existe x1 y x2 / F(x1)<F(x)<F(x2). Espero que puedan ayudarme, muchas gracias !
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  3. #2
    Intolerante Avatar de Maezel
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    Re: [Ayuda]Teorema de Lagrange y Rolle

    El teorema de Lagrange buscalo en Wiki, esta bien explicado ahi, con dibujitos y todo.

    Sobre lo otro, el teorema de Rolle te dice que si f(a) = f(b) existe al menos un punto c tal que f'(c) = 0.

    A su vez, el teorema de Weierstrass dice que toda funcion continua en un intervalo cerrado y acotado alcanza su valor maximo y minimo en dicho intervalo.

    Como se sabe que la derivada en un maximo o minimo vale cero, la demostracion usa a Weierstrass para decir que en dicho intervalo la funcion tiene un max o min en al menos un punto c tal que f'(c) = 0 debido a las hipotesis del teorema de Rolle.

    Aca esta bien claro.
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  4. #3
    Avatar de OCN_0v3j4
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    Re: [Ayuda]Teorema de Lagrange y Rolle

    es asi el teorema:

    Hay una funcion continua entre "a" y "b" (el resto de la funcion no importa ahora), o sea que:

    f(x)=y ; f(a)=n; f(b)=m ; a<b

    Ahora bien, hay un tercer punto "c "q esta entre a y b:


    a<c<b


    Cuando tomas el valor de la primitiva (integral) de la funcion f (f =int=> F) de cada punto "a" y "b" y lo dividis por la distancia entre ellos (= b-a) lo que tenes es:


    [F(a)-F (b)]/(-a)= z

    Y resulta q z=f(c).

    Esto lo usamos intituivamente para deicr esta entre esto y esto:

    Por ejemplo: si vos tenes dos vasos de distinto volumen (el volumen es una integral) y te dan un tercero, vos podes averiguar cual es el del medio porque tu cerebreo primero reconoce los dos tamaños extremos primero y depsues sabe que el tercero esta en el medio. no se si sirvio el ejemplo...
    espoero q la rta te sirva
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  5. #4
    Avatar de OCN_0v3j4
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    Re: [Ayuda]Teorema de Lagrange y Rolle

    el teorema de Rolle es mas intuitivo:

    Si en una funcion continua no recta (imaginate visualmente una cualquiera) entre dos puntos, que tiene dos valores iguales en esoso dos distintos puntos (por ejemplo una parabola: y = f(x)= x^2; 2 y -2 valen lo mismo).
    eso quiere decir que la funcion primero tuvo un crecimiento o decrecimeinto y luego lo opuesto.
    como es continua entre esos dos puntos,tambien lo es su derivada (suponemos que existe y no que es una rareza) quiere decir que en un momento el crecimiento paró para despues hacerse decreciente... O SEA QUE LA DERIVADA SE HIZO cero!!!!!!!!! entendes?

    La unica excepcion a esto es la funcion valor absoluto, porque no esite la raiz de 0...
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  6. #5
    Intolerante Avatar de Maezel
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    Re: [Ayuda]Teorema de Lagrange y Rolle

    Sobre lo que dijiste de Lagrange: f'(c)=z no f(c), ademas no se refiere necesariamente a la mitad o al medio, sino a un punto cualquiera del intervalo y no tiene nada que ver con la imagen de la funcion. Simplemente dice que, dadas las condiciones, existe un punto c tal que la recta tangente en ese punto es paralela a la recta secante de la curva en el intervalo [a,b]

    Sobre Rolle: tambien sirve para rectas, porque el teorema te dice que en al menos un punto f'(c)=0. Si es una recta f'(c)=0 para todo punto del intervalo.
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  7. #6
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    Re: [Ayuda]Teorema de Lagrange y Rolle

    El teorema de Lagrange, bien explicado, es asi:

    DAda una funcion f, continua en [a;b] y derivable en (a;b), existe un punto c tal que

    f'(c) = (f(b)-f(a))/(b-a)

    Que coloquialmente significa que existe un punto, en la funcion, para el cual la pendiente (dada por f'(c)) es igual a la recta que pasa por los dos extremos de la funcion. Imaginate una funcion cualquiera, limitala para un intervalo, dibuja una recta desde el extremo izquierdo de la funcion hasta el extremo derecho. Entonces en la funcion existe un punto cuya pendiente (dada por la derivada) tiene la misma pendiente que la pendiente de la recta que dibujaste de extremo a extremo.

    La demostracion no es demasiado facil ya que requiere la definicion de una funcion auxiliar (la funcion de distancia de dos funciones, la recta trazada y la funcion original), pero internet la deberia proporcionar, si buscas bien.

    Lo del teorema de Rolle lo explico bien Maezel en la primer respuesta. Tambien sirve para funciones constantes.

    Saludos
    Joma
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  8. #7
    Avatar de Delek
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    Re: [Ayuda]Teorema de Lagrange y Rolle

    Citar Mensaje original enviado por OCN_0v3j4 Ver Mensaje
    La unica excepcion a esto es la funcion valor absoluto, porque no esite la raiz de 0...
    El teorema de Rolle necesita que la función cumpla con estas tres cosas:
    1. Que sea continua.
    2. Derivable.
    3. Que f(a) = f(b).

    Por lo tanto la función y=|x| no es ninguna excepción al teorema, ya que no es derivable.
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  9. #8
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    Re: [Ayuda]Teorema de Lagrange y Rolle

    Pero es derivable haciendo una funcion:

    f(x)= -x si x<0
    x si x>=0
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  10. #9
    Avatar de Thurk
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    Re: [Ayuda]Teorema de Lagrange y Rolle

    Eh? Esa es la definición de módulo, es lo mismo. No es derivable en x = 0, es un punto anguloso.

    lim f(x) / x = 1
    x->0+


    lim f(x) / x = -1
    x->0-

    Y la raiz de 0 es 0.
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  11. #10
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    Re: [Ayuda]Teorema de Lagrange y Rolle

    No es derivable porque las derivadas laterales en x=0 son distintas (Para x vale 1 y para -x vale -1). Un mismo punto, 2 derivadas posibles ---> No es derivable.
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  12. #11
    Heeeeeeeey Avatar de BlueMagic
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    Re: [Ayuda]Teorema de Lagrange y Rolle

    Si, que boludo.
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  13. #12
    Avatar de Theodoric
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    Re: [Ayuda]Teorema de Lagrange y Rolle

    Y lo que me parece que vale la pena mostrar es que precisamente el teorema de rolle es como un caso particular del teorema de lagrange.

    Agarrá el teorema de lagrange y suponé f(b) = f(a) y entonces te da que f`(c) = 0.
    De hecho, esa es la manera de demostrar el teorema de rolle usando el teorema de lagrange.

    También es cierto que intuitivamente, cuando ves el grafico en el que se ve una función curva y 2 rectas, una recta secante que corta 2 puntos de la curva y otra paralela a esta pero tangente a la curva. Ahí, si te "imaginás" a la curva "inclinada hacia abajo" como si la recta secante estuviera "apoyada" sobre el eje X, el grafico que te queda es el que se asocia con el teorema de rolle!! la recta tangente te quedaría horizontal y entonces la derivada valdría 0. Como dije antes, la que sería la recta secante queda "acostada" sobre el eje X.

    Un saludo!
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    Última edición por Theodoric : 05-02-10 el 09:34 PM
    Wait! Till i come back to your side
    We´ll forget the tears we cried.
    I feel a thougt, you ought to know
    That i´ve been good, as good as i can be
     

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