Ayuda con raices de un polinomio

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  1. #1
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    Ayuda con raices de un polinomio

    Tengo este ejercicio y no lo puedo resolver. Me esta volando la cabeza. Me lo tomaron en el segundo parcial de Algebra I del cbc.

    P(X)=X(cuarta)+2X(cubo)+7X(cuadrado)+10X+10


    Hay que hallar las raices de esto y te da el dato de que -1 es la parte real de una de las raices.

    Por favor necesito que me digan como hacerlo
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  3. #2
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    Re: Ayuda con raices de un polinomio

    a ver... con ruffini dividis eso por (x+1)

    Despues te queda un polinomio de grado 3... asi que no se, generalmente es posible encontrar raices armando numeros de la forma a/b donde a y b son los coeficientes del exponente mas grande y mas chico.

    Cuando encontres otra raiz volves a hacer ruffini y blablablabla... hasta que te quede algo onda X^2 + positivo o puedas descomponerlo en 4 raices (y no existan irreales).
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  4. #3
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    Re: Ayuda con raices de un polinomio

    (mejor escrito):

    x^4+ 2X^3 + 7X^2 + 10X + 10
    ----- Siguiente Post ------
    Las raíces se van de a 2 al campo imaginario. Por lo que si encontras que una de las raíces es -1 + 3i , entonces otra raiz va a ser -1 -3i.

    Como te dijo Hamburguejas, con reducirlo a un polinomio de grado 2 ahi ya vas a ver las 2 raíces que son reales o esas 2van a ser tb imaginarias.
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  5. #4
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    Re: Ayuda con raices de un polinomio

    el problema es que lo que te dicen es que la parte real de una de las raices es -1. O sea que la raiz vendria a ser -1+bi y usar eso con ruffini te empieza a elevar a b y termina quedando un choclazo con b^4 y no lo puedo averiguar igualando el resto a 0 o algo asi. Si yo pudiera encontrar b se podria resolver facil xq divido el polinomio x x esa raiz y por su conjugada pero....

    Si hago ruffini con x+1 no me sirve xq el resto queda diferente de 0 y lo dejo peor que antes
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  6. #5
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    Re: Ayuda con raices de un polinomio

    ??? si hacer ruffini con x+1 te deja resto distinto de cero entonces -1 no es raiz...
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  7. #6
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    Re: Ayuda con raices de un polinomio

    ya se que -1 no es raiz fijate que yo nunca dije eso. Dije que -1 era la parte real de una de las raices complejas del polinomio
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  8. #7
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    Re: Ayuda con raices de un polinomio

    Ehm, lo que se me ocurre que podes hacer es separar el polinomio en terminos con componente compleja y terminos reales.

    Todo complejo elevado a una potencia par va a ser un numero real. Y todo complejo elevado a una potencia impar va a ser complejo. Para que el polinomio tenga raiz en un determinado punto la suma de los terminos reales debe ser cero. Y la suma de los termino complejos tambien.

    real) x^4 + 7x^2 + 10 = 0
    complejo) 2x^3 + 10x = 0

    Calculando el b en ese sistema de ecuaciones con -1+bi me da:

    |sqrt(1/3)|
    |sqrt(3)|
    0

    5 valores de b, el cero es descartable porque si o si tenes que tener un complejo y su conjugado. Fijate si Ruffini da con los valores positivos de los modulos. O sea -1 + sqrt(3)i y -1 + sqrt(1/3)i

    PD: Sqrt = raiz cuadrada.
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    Última edición por Maezel : 02-07-08 el 12:12 AM
     

  9. #8
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    Re: Ayuda con raices de un polinomio

    Guau, me encantaban hacer estas cosas, me iba muy bien pero empece a estudiar psicologia hace unos años por ende me olvide completamente, me impacto leerlo nuevamente.
    Perdon por el offtopic pero algo que me era normal, ahora me parece re groso.
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  10. #9
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    Re: Ayuda con raices de un polinomio

    Maezel gracias por intentar resolverlo pero probe con lo que me dijiste y ruffini da cualquier cosa. No se porque a mi me tocan siempre los ejercicios mas dificiles jeje....
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  11. #10
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    Re: Ayuda con raices de un polinomio

    Si, antes de acostarme me di cuenta que estaba mal, pero se me murio la pc (todavia sigue muerta) y no pude postear.

    Manejalo de la misma forma. Reemplaza por -1+bi y resolve, fijate a que llegas (Te va a quedar en funcion de b). Despues iguala la parte real(Terminos sin i) a cero y la parte compleja(terminos con i) a cero. Despeja.

    Otra forma no se me ocurre.
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  12. #11
    WsK
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    Re: Ayuda con raices de un polinomio

    A mi me tomaron uno de grado 6, el chiste era hacer un cambio de variable
    Ponéle que llamas a una variable T, entonces decís:
    T=X^2
    Por lo tanto te queda........... T^2+ 2T + 7 y ahi fijate si podes resolver, personalmente ruffini me parece una poronga.
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  13. #12
    Avatar de Fuyutski
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    Re: Ayuda con raices de un polinomio

    Como el polinomio esta en el anillo R[X], si z en C es raiz, z conjugado es raiz también. Por lo tanto, llamando f al polinomio, f se puede escribir así:
    f = (x-z)(x-w)q
    donde z es la raiz compleja cuya parte real es -1, w es el conjugado de z, y q un polinomio en principio en C[X].
    Bien entonces f es divisible por g=(x-z)(x-w)=x^2 + 2x + (1+b^2) donde b es la parte imaginaria de z. Si es divisible, hagamos la division entre f y g. Antes de hacer la division, llamamos Ñ = 1+b^2, entonces g=x^2 + 2x + Ñ. Ahora si, haciendo la division (no la escribo porque se complica sin usar Tex) llegás a una expresión en Ñ para el resto. Y como sabíamos que g dividía a f, el resto tiene que ser 0. Para ver que sea 0, hay que pedir que todos los coeficientes de R sean 0. Conviene ver para que Ñ se anula el coeficiente lineal, que es mas facil de calcular (si lo hiciste bien, para ese valor que encontraste también se debe anular el coeficiente independiente). Bueno haciendo un poco cuentas llegás a que Ñ=5, y recordando quien era Ñ, nos quedan dos valores para b: 1, -1.
    Bingo, ya encontramos dos raíces. -1-i y -1+i. Ahora g=x^2 + 2x + 2 y el cociente de la división queda q=x^2 + 5.
    Luego f=(x^2+2x+2)(x^2 + 5). Ahí lo tenes factorizado en R[X] ya que esos polinomios son irreducibles. En C[X] te lo dejo a vos. Las raices de x^2 + 5 son fáciles de encontrar xD.
    Creo que esta bien, chequealo.
    Saludos

    pd: es falso que cualquier complejo elevado a una potencia par tiene parte imaginaria nula. De hecho: (1+i)^2 = 2i (Imaginario puro)
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    Última edición por Fuyutski : 06-07-08 el 06:10 PM
    The fate of destruction is also the joy of Rebirth
     

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