Cálculo con infinitesimales

Discusión cerrada
  1. #1
    Avatar de facuq
    Registración
    Jul 2003
    Mensajes
    2,077
    Ubicación
    Panza, Panza, Argentina

    Cálculo con infinitesimales

    La otra vez buscando algún buen libro de cálculo para repasar, me encontré con este artículo de slashdot, http://books.slashdot.org/books/04/03/04/028253.shtml, que presentaba cinco libros gratuitos sobre el tema, y entre ellos recomendaba Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals, de Jerome H. Keisler, o sea "Cálculo elemental: un enfoque utilizando infinitesimales".

    Lo empecé a leer y la verdad me está gustando bastante. Este usa el concepto de infinitesimales para explicar derivadas e integrales, en lugar de la usual noción de derivada como un límite. Está es la idea que originalmente desarrollaron Newton y Leibniz, y por lo tanto hace un mejor uso de la notación de Leibniz, ya que le da sentido al dy/dx. Bah, eso es algo que a mi me molestaba bastante cuando cursé análisis, esas cosas de "mirá, vos al resultado ponele + dx, sino está mal" me parecían de cuarta.

    La página del libro es: http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html. Está en inglés, y son más de 900 páginas. Hasta donde yo vengo leyendo (capitulo 4), es muy entendible, hasta empieza repasando funciones lineales y como obtener su pendiente (que es dy/dx, y va a ser (casi) la definición de derivada cuando dx es infinitesimal). Luego sigue con como extender los números reales a los hiperreales, que incluyen los numeros infinitesimales e infinitos, y más que todo su manipulación algebraica. Después ya empieza con derivadas, integrales, y toda la pelota.

    Espero que a alguno le guste también.
    • Me gusta
    Me gusta
    Última edición por facuq : 20-04-08 el 03:07 PM
     

  2. Compartí este Tema:
    • Vistas: 2300
    • Mensajes: 11
    Seguí este Tema: Suscribite
  3. #2
    Intolerante Avatar de Maezel
    Registración
    Mar 2003
    Mensajes
    16,647
    Ubicación
    Sydney
    Not Found

    The requested URL /~keisler/calc.htm was not found on this server.
    • Me gusta
    Me gusta
     

  4. #3
    Avatar de barradevolumen
    Registración
    Apr 2003
    Mensajes
    6,314
    http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html

    yo puedo verlo bien!... pinta re interesante, a mi me pasó lo mismo con la notación de Leibniz, incluso como no me habían explicado el por qué no la usaba, y en un tipo de ejercicios tuve que usarla sí o sí porque se simplificaba con no sé qué cosa igualmente pensé que no la explicaban porque en ciencias económicas "no hace la diferencia" pero en ingeniería sí...

    espero algún día pegarle una ojeada al menos, últimamente no tengo tiempo ni para leer el diario :?
    • Me gusta
    Me gusta
     

  5. #4
    Avatar de facuq
    Registración
    Jul 2003
    Mensajes
    2,077
    Ubicación
    Panza, Panza, Argentina
    La dirección que puso LuiGGi es la posta, me había comido la 'l' en "html", ya lo edité.

    Te cuesto más o menos así no tenés que leer todo; obviamente con 0 rigurosidad y yo recién le estoy entrando, así que no esperes que sea 100% correcto.

    Básicamente la idea es: tomá cualquier función constante, y el factor de cambio no existe, digamos que es 0. Tomás una función lineal, el factor de cambio en cualquier punto es la pendiente, dy/dx, que se lee como "lo que aumenta el y de mi función cuando aumento el x", y es bastante parecido a como veías las funciones lineales cuando te las explicaban en el colegio, la pendiente la escribías como una fracción, y "cuando muevo x la cantidad del denominador, muevo y la cantidad del denominador". Entonces calcular la derivada en una función lineal es trivial, es la pendiente.

    El tema es que con cualquier otra función esta idea no te sirve, porque la derivada es diferente en cada punto; si tratás de calcularla usando la misma idea que recién, terminás calculando algo parecido como la derivada promedio entre x y x+dx. Por ejemplo, calculás la derivada de x², dy/dx=(x+dx)²-(x²) / (dx)=2x+dx. Vos lo que querés calcular es la derivada en x, pero dx es un valor real y siempre va a ser algo, así que por más que digas que dx es 0.00...01, nunca va a dar un resultado correcto.

    En respuesta a esto lo que se hace es expandir a los reales con los hiperreales, agregando los números infinitos, y los infinitesimales que vendrían a ser números infinitamente pequeños. Si H es un número infinito positivo, H es mayor que cualquier real r; si e es un número infinitesimal positivo, e es menor que cualquier número positivo real excepto 0.
    Podés manipular estos números algebraicamente, por ejemplo 1/H me da un número infinitesimal, 1/e me da un número infinito, H/e es 1 (siempre y cuando H sea tan infinitamente grande como e infinitamente pequeño). A su vez, podés generar números que son hiperreales, pero no son infinitesimales ni infinitos, por ejemplo, 24+e, y 24<24+e<24+r, donde r es cualquier real positivo distinto de 0.

    Entonces para calcular la derivada en x, hago lo mismo, dy/dx, pero ahora dx va a ser un valor infinitesimal, entonces la "derivada promedio" entre x y x+dx, que antes era inexacta, va a ser infinitamente cercana al valor real, lo cual es tan bueno como puede llegar a ser.

    De todos modos, cuando vas a calcular una derivada cualquiera, te queda algo parecido a cuando lo hacés con límites:

    dy/dx = ( f(x+dx) - f(x) ) / dx ~= lim (h->0) ( f(x+h) - f(x) ) / h

    y te tenés que poner a manipular las cosas para sacar ese dx de ahi abajo, igual que con la derivada "tradicional". La diferencia es que ahora en vez de lidiar con que h tiende a 0, tenés que dx es un infinitesimal y utilizás las reglas de los hiperreales (que son bastante intuitivas) para hacerlo.

    Una vez que dejás la derivada en una forma utilizable, te queda un número hiperreal con partes infinitesimales (o también infinitas, pero bueno no es el caso interesante) y parte real o "estándar", por ejemplo 24x+dx. En realidad, como pasaba antes, vos con esto no podés calcular nada, porque f'(1)=24*1+dx=24+dx, y aunque dx no es un real, es un infinitesimal! En este caso vos intuitivamente decís "dx es infinitamente pequeño, entonces la derivada la calculo como 24x y listo, me da 24".

    En otros casos esto es más complejo porque dx puede estar adentro de un choclo de dos renglones. Para ello, el libro te tira reglas, de nuevo, muy intuitivas, para sacar la parte "estándar" de un número hiperreal, por ejemplo si a es un número real y e un infinitesimal, st(a+e)=a, st(a*e)=0, y así sucesivamente.

    Más o menos la idea es esa, igual el libro obviamente lo explica muchísimo mejor que yo.
    • Me gusta
    Me gusta
    Última edición por facuq : 20-04-08 el 11:01 PM
     

  6. #5
    Avatar de barradevolumen
    Registración
    Apr 2003
    Mensajes
    6,314
    :| OMFG

    Gracias a este post descubrí que:
    1) las matemáticas son más interesantes de lo que creía (y posta que me interesaban XD)
    2) es un acercamiento bastante copado! nace como otra forma de ver las cosas o el del límite presenta justamente límites de aplicación?

    ah, entre el item 1 y el 2 hay un item 1+e (?) siendo e infinitesimal que dice: facuq está loco pirata por las matemáticas y probablemente termine inventando algo raro si tiene una vida más o menos generosa XD

    gracias por la explicación, quedé shock XD
    • Me gusta
    Me gusta
     

  7. #6
    Avatar de facuq
    Registración
    Jul 2003
    Mensajes
    2,077
    Ubicación
    Panza, Panza, Argentina
    Según wikipedia, no hay mucho que se pueda hacer por ahora:
    http://en.wikipedia.org/wiki/Non-standard_analysis
    El tema es que ya de entrada como ya está tan instaurado el análisis con límites (por ejemplo, aparentemente este libro es uno de los únicos textbooks que utilizan infinitesimales, contra cientos que usan límites) es muy difícil que las universidades cambien las currículas, sea o no mejor.

    De nada (igual para aprender es muy bueno escribir lo que uno sabe desde cero para ver donde está parado), pero igual te cuento que facuq va a terminar de repasar derivadas e integrales, va a rendir probabilidad y estadística, y probablemente va a vivir feliz el resto de su vida de codemonkey sin calcular otra derivada .
    • Me gusta
    Me gusta
     

  8. #7
    Avatar de barradevolumen
    Registración
    Apr 2003
    Mensajes
    6,314
    jajajajaja yo pienso lo mismo xD en la facu las derivadas son RE importantes, todo lo que economía lleve el término marginal (que son miles de cosas para que te des una idea, y son importantes porque muchas veces sostienen a teorías importantes) se trata de una derivada...

    el tema es que sólo te sirve para estudiar cuestiones teóricas, por ejemplo en matemática financiera vos tenés f(n) = C(1 + i*n), donde C es capital e I tasa de interés, ambas constantes, y n es la variable cantidad de periódos... es flor de función lineal, y con la primer y segunda derivada, hacés el análisis de la función... pero hacés un solo análisis teórico en clases y dps en la vida siempre vas a usarla reemplazando N y listo...

    aspirá a algo más que codemonkey, la cabeza te da eh
    • Me gusta
    Me gusta
     

  9. #8
    Avatar de Akuma
    Registración
    Apr 2005
    Mensajes
    7,163
    Ubicación
    Argentina
    Derivadas e integrales: son 2 de los de temas fundamentales de una función.

    En ingeniería vez lo teórico y ejercicios de la aplicación de los teoremas, pero en el retso de las materias (después de cursada Anal) se usa en toda las fórmulas:
    Química, Física, Fluídos, etc etc etc.

    La matemática es una herramienta muy versátil que implica desde las ciencias duras (y de mayor aplicación tecnológicas), hasta las Lógica.
    • Me gusta
    Me gusta
    Citar Mensaje original enviado por Sir Auron
    Posta son un callejon evolutivo sin salida. Se van a quejar hasta la extincion.
    Citar Mensaje original enviado por G-Dogg
    Lo que vos creas no importa, lo que importa es lo que puedas demostrar.
    Citar Mensaje original enviado por Tiphareth
    ... sí, le entro a todo.
     

  10. #9
    Avatar de facuq
    Registración
    Jul 2003
    Mensajes
    2,077
    Ubicación
    Panza, Panza, Argentina
    La cursada anal no la conozco, creo que por suerte acá no la tenemos.

    Citar Mensaje original enviado por LuiGGi Ver Mensaje
    el tema es que sólo te sirve para estudiar cuestiones teóricas, por ejemplo en matemática financiera vos tenés f(n) = C(1 + i*n), donde C es capital e I tasa de interés, ambas constantes, y n es la variable cantidad de periódos... es flor de función lineal, y con la primer y segunda derivada, hacés el análisis de la función... pero hacés un solo análisis teórico en clases y dps en la vida siempre vas a usarla reemplazando N y listo...
    Claro, pero entonces para eso vos necesitás el significado intuitivo de lo que hace la función. Yo así no lo he aplicado, mi tema con derivadas es por ejemplo en estadística cuando te toca sacar la función de densidad de probabilidad (pdf) de una VA partiendo de la función de probabilidad acumulada. Que tenga que derivar ahí es más como una casualidad, el teorema fundamental del cálculo dice, más o menos, que la derivada esla inversa de la integral, me viene joya porque yo tengo una integrada indefinida y quiero sacar la función original.

    Integrar algunas funciones bivariadas que te surgen para cualquier VA interesante es más complicado, me acuerdo cuando el salvaje del profesor que tenía en Prob y Est para "repasar " integrales dobles nos tiró una integral que era como decirte (sen x*pi)², parecía mansita.. el loco terminó llenando tres pizarrones de los grandes de anfiteatro, sacando la matriz jacobina de nosequé, los dx y dys volaban de acá para allá, nadie entendía nada..

    Lo que no sé es que tanta importancia práctica tiene después; así como vos decís que después no sacás más una derivada, quizás para estadística sea parecido, que casi nunca te toque tener que buscar una función de probabilidad que vaya con lo que estés estudiando, porque usás el teorema central del límite y listo. Pero bueno, supongo que depende bastante de que tipo de estudio esté haciendo.

    En económicas, ¿es tan importante derivar e integrar cosas difíciles o después terminás aproximando todo con normal o t de student?
    • Me gusta
    Me gusta
     

  11. #10
    Avatar de barradevolumen
    Registración
    Apr 2003
    Mensajes
    6,314
    Una pregunta muy dura esa última! La realidad indicaría que el concepto de derivada forma parte de gran parte de las teorías que ves en la facultad (sobre todo de economía, no tan así las teorías de administración, salvo las de administración de la producción u operaciones que son modelos altísimamentes matematizados, tipo programación lineal para optimizar funciones de costos de transportes, planificación lineal de la producción, etc)...

    Todo en la teoría, nada en la práctica... En estadística, es todo normal o student, el 99%... En economía se usa bastante, por ejemplo el costo marginal, el ingreso marginal, que son conceptos importantes porque determinan puntos de equilibrios que sostienen los tan criticados modelos de mercados... si mal no me acuerdo, el punto óptimo de una empresa es cuando el costo marginal (dc/dx) se toca con la utilidad marginal (du/dx), donde producir una unidad más y venderla no te deja ganancia, de ahí en adelante salís perdiendo...

    Lo "bueno" de la economía es que encontrás todo explicado por matemática y por literatura... Gran parte de la economía se desarrolló hasta 1800, y llegó a armar un nucleo bastante importante de leyes, teorías, modelos, etc en texto, que no dependen de la matemática... Desde Walras (justamente desarrolla el concepto de valor marginal) en adelante se empezó a matematizar el tema, aunque un par de escuelas siguieron haciendo literatura en repudio de matematizar la economía, porque dicen que la economía debe ser libre (laissez faire) y que pensar en un modelo matemático da la idea de que tocar una variable permite obtener los resultados deseados como consecuencia directa...

    En general, tuve matemática I (derivada), II (integrales), III (programación lineal, matrices, simplex, etc), más matemática financiera y estadística, y lo que vi no lo apliqué en muchas otras materias, salvo esta que te digo de administración de la producción (que el excel te hace todo cuando copiás los datos del problema en el cuadradito que te deja en blanco en la planilla)...

    incluso a un contador calcular el devengamiento de intereses, la amortización y esas cosas, son cuentas triviales...
    • Me gusta
    Me gusta
     

  12. #11
    Avatar de Akuma
    Registración
    Apr 2005
    Mensajes
    7,163
    Ubicación
    Argentina
    Hay muchos fenómenos prácticos que no se podían explicar con la teoría de las herramientos de la época, pero sin embargo en las fórmulas matemáticas seguían apareciendo.

    El ejemplo que se me viene a la cabeza ahora es el efecto coreolis
    • Me gusta
    Me gusta
    Citar Mensaje original enviado por Sir Auron
    Posta son un callejon evolutivo sin salida. Se van a quejar hasta la extincion.
    Citar Mensaje original enviado por G-Dogg
    Lo que vos creas no importa, lo que importa es lo que puedas demostrar.
    Citar Mensaje original enviado por Tiphareth
    ... sí, le entro a todo.
     

  13. #12
    Avatar de facuq
    Registración
    Jul 2003
    Mensajes
    2,077
    Ubicación
    Panza, Panza, Argentina
    O sea que, si entiendo bien, al final del día si bien el análisis de un modelo puede no ser mecánico, porque igual supongo que tenés que generar una conclusión (uses un enfoque matemático o no), los métodos en general del análisis si lo son. Está bien, pero algún día te va a tocar algo ligeramente diferente, y tenés que tocar la fórmula en sí y no solo sus valores. O más importante, algún día te va a tocar hacer un modelo de algo que parece lo mismo de siempre, pero es sutilmente diferente, y te tenés que dar cuenta.
    • Me gusta
    Me gusta
     

  14. Compartí este Tema:
    • Vistas: 2300
    • Mensajes: 11
    Seguí este Tema: Suscribite
Discusión cerrada

Temas Similares

  1. Duda Calculo II
    By Pelaox in forum Estudios, Carreras y Universidades
    Mensajes: 4
    Último Mensaje: 06-07-08, 05:50 PM
  2. Calculo de residuos.
    By Maezel in forum Estudios, Carreras y Universidades
    Mensajes: 6
    Último Mensaje: 25-02-08, 02:04 PM